Escreva a fórmula do termo geral
da sequência e determine seu limite (caso exista):
(d)
(d)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência que começa com os termos 1, 0, 1, 0, e assim por diante. Nosso objetivo é encontrar a fórmula que define o termo geral dessa sequência, representada por
, e também determinar o limite dessa sequência, se ele existir. Para isso, vamos usar conhecimentos de sequências numéricas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o padrão da sequência. Observamos que os termos alternam entre 1 e 0:
- Quando
é ímpar: - Quando
é par:
Passo 3
Para expressar isso de forma geral, podemos usar uma função que dependa da paridade de
. Uma maneira de fazer isso é utilizando a função resto da divisão de
por 2, que nos informa se
é par ou ímpar:
Passo 4
Outra forma de representar o termo geral utilizando potências de
é:
Vamos verificar:
- Para
: - Para
: - E assim por diante.
Passo 5
Agora, vamos determinar o limite da sequência quando
tende ao infinito. O limite
existe se a sequência se aproxima de um único valor conforme
aumenta.
Passo 6
Observamos que a sequência oscila entre 1 e 0 indefinidamente:
- Para
ímpar, - Para
par,
Como a sequência não se aproxima de nenhum valor específico e continua alternando entre 1 e 0, não há um limite único.
Resposta
A fórmula do termo geral é
. A sequência não possui limite.