Faça um esboço das curvas definidas pelas equações paramétricas abaixo, indicando
a orientação.
(d) C: { x = r cos(t), y = r sen(t), z = a t, t ≥ 0 (r, a > 0) } fixados). Essa curva é chamada de hélice circular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente fazer um esboço da curva definida pelas equações paramétricas:
Essa curva é conhecida como hélice circular. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e entender como as equações paramétricas definem essa curva. Vamos precisar entender como cada variável , e se comporta quando varia.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações para e :
Essas duas equações representam um círculo no plano com raio . Conforme aumenta, o ponto gira em torno da origem, descrevendo um círculo completo quando varia de a .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a equação de :
Aqui, aumenta linearmente com . Isso significa que conforme o ponto gira no círculo , ele também está subindo no eixo . O coeficiente determina a rapidez com que ele sobe.

Passo 4

Juntando tudo, o que estamos vendo é um ponto que, ao girar em um círculo no plano , está simultaneamente subindo no eixo . Isso cria uma espiral que se eleva indefinidamente, formando o que chamamos de hélice circular.

Passo 5

Para indicar a orientação da hélice, observamos que começa em 0 e aumenta. Quando , o ponto está em . Conforme aumenta, o ponto gira no sentido anti-horário no plano (quando olhamos de cima) e sobe no eixo . Portanto, a orientação da hélice é no sentido anti-horário ascendente.

Resposta

A hélice circular definida pelas equações paramétricas dadas consiste em uma espiral que gira no sentido anti-horário no plano enquanto sobe continuamente no eixo . O raio da hélice é constante igual a , e a subida é linear com a constante . A orientação da hélice é ascendente conforme aumenta.

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