Calcule o comprimento das curvas parametrizadas abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre comprimento de curvas. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada e fazer alguns cálculos com derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento
de uma curva parametrizada por
e
no intervalo
. A fórmula é:
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços da curva para achar o comprimento total.
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções
e
que nos foram dadas:
Nosso intervalo é de
até
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento, temos:
Resposta
O comprimento da curva
é
.