Calcule o comprimento das curvas parametrizadas abaixo.
© C: { x = r cos(2t), y = r sen(2t), 0 <= t <= pi }.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre comprimento de curvas. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada e fazer alguns cálculos com derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento de uma curva parametrizada por e no intervalo . A fórmula é:
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços da curva para achar o comprimento total.

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções e que nos foram dadas:
Nosso intervalo é de até .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento, temos:
á

Resposta

O comprimento da curva é .

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