Calcule o comprimento das curvas parametrizadas abaixo.
(d) .
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento da curva parametrizada por e para indo de até . Isso cai no assunto de cálculo de comprimento de curvas paramétricas, onde a gente precisa usar a fórmula de comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos e , o comprimento da curva de até é dado por:
Então, nosso primeiro passo é calcular as derivadas de e em relação a .
Passo 3
Vamos calcular e :
Isso porque ao derivar temos 1, e a derivada de é , e a derivada de é .
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar essa expressão dentro da raiz.
Passo 5
Expandindo os termos dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Passo 6
Voltando à integral, temos:
Agora, precisamos simplificar .
Passo 7
Usando a identidade trigonométrica:
Então:
Como varia de a , é sempre não negativo, então podemos tirar o valor absoluto:
Passo 8
Substituindo de volta na integral:
Passo 9
Vamos resolver a integral:
Usando substituição, seja , então ou . A integral fica:
Passo 10
Aplicando os limites de a :
Passo 11
Agora, multiplicando pelo que tínhamos fora da integral: