Calcule o comprimento das curvas parametrizadas abaixo.
(d) C: { x = r(t - sen t), y = r(1 - cos t), 0 <= t <= 2 pi }.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento da curva parametrizada por e para indo de até . Isso cai no assunto de cálculo de comprimento de curvas paramétricas, onde a gente precisa usar a fórmula de comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos e , o comprimento da curva de até é dado por:
Então, nosso primeiro passo é calcular as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular e :
Isso porque ao derivar temos 1, e a derivada de é , e a derivada de é .

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar essa expressão dentro da raiz.

Passo 5

Expandindo os termos dentro da raiz:
Sabemos que , então:

Passo 6

Voltando à integral, temos:
Agora, precisamos simplificar .

Passo 7

Usando a identidade trigonométrica:
Então:
Como varia de a , é sempre não negativo, então podemos tirar o valor absoluto:

Passo 8

Substituindo de volta na integral:

Passo 9

Vamos resolver a integral:
Usando substituição, seja , então ou . A integral fica:

Passo 10

Aplicando os limites de a :

Passo 11

Agora, multiplicando pelo que tínhamos fora da integral:

Resposta

O comprimento da curva é .

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