Seja
. Suponhamos que que a sequência
seja tal que
Mostre que
é uma sequência de Cauchy.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência
que segue a regra
, onde
. O que a gente precisa mostrar é que essa sequência é uma sequência de Cauchy. Isso significa que os termos da sequência ficam cada vez mais próximos uns dos outros à medida que avançamos na sequência.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma sequência de Cauchy e utilizar conceitos de desigualdade para manipular a relação dada. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência de Cauchy. Uma sequência
é de Cauchy se, para todo
, existe um número natural
tal que para todos os
, a diferença
. Basicamente, os termos da sequência ficam tão próximos que podemos torná-los menores que qualquer
que escolhermos, desde que avancemos o suficiente na sequência.
Passo 3
Agora, vamos analisar a condição dada:
. Isso nos diz que a diferença entre termos consecutivos na sequência está diminuindo de forma geométrica, já que
. Ou seja, cada passo diminui a variação por um fator
.
Passo 4
Vamos definir
. Então, a condição dada fica
, o que significa que
. Isso nos mostra que a sequência
é uma sequência geométrica limitada por
.
Passo 5
A partir de
, podemos iterar essa desigualdade para obter:
Isso porque a cada passo, a diferença é multiplicada por
, que é menor que 1. Assim, à medida que
aumenta,
se aproxima de zero.
Passo 6
Agora, vamos considerar a soma das diferenças entre os termos da sequência a partir de um certo ponto
:
Como
, temos:
Passo 7
A soma
é uma série geométrica finita, cuja soma é:
Pois
.
Passo 8
Substituindo de volta na desigualdade:
Como
tende a zero quando
tende ao infinito, para qualquer
, podemos escolher
grande o suficiente para que
.
Passo 9
Portanto, para todo
, existe um
tal que, para todos
, temos
. Isso satisfaz a definição de uma sequência de Cauchy.
Resposta
Assim, mostramos que a sequência
é uma sequência de Cauchy.