Seja 0 < lambda < 1. Suponhamos que que a sequência x_n seja tal que
|x_{n+2} - x_{n+1}| <= lambda |x_{n+1} - x_{n}|
Mostre que x_n é uma sequência de Cauchy.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência que segue a regra , onde . O que a gente precisa mostrar é que essa sequência é uma sequência de Cauchy. Isso significa que os termos da sequência ficam cada vez mais próximos uns dos outros à medida que avançamos na sequência.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma sequência de Cauchy e utilizar conceitos de desigualdade para manipular a relação dada. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência de Cauchy. Uma sequência é de Cauchy se, para todo , existe um número natural tal que para todos os , a diferença . Basicamente, os termos da sequência ficam tão próximos que podemos torná-los menores que qualquer que escolhermos, desde que avancemos o suficiente na sequência.

Passo 3

Agora, vamos analisar a condição dada: . Isso nos diz que a diferença entre termos consecutivos na sequência está diminuindo de forma geométrica, já que . Ou seja, cada passo diminui a variação por um fator .

Passo 4

Vamos definir . Então, a condição dada fica , o que significa que . Isso nos mostra que a sequência é uma sequência geométrica limitada por .

Passo 5

A partir de , podemos iterar essa desigualdade para obter:
Isso porque a cada passo, a diferença é multiplicada por , que é menor que 1. Assim, à medida que aumenta, se aproxima de zero.

Passo 6

Agora, vamos considerar a soma das diferenças entre os termos da sequência a partir de um certo ponto :
Como , temos:

Passo 7

A soma é uma série geométrica finita, cuja soma é:
Pois .

Passo 8

Substituindo de volta na desigualdade:
Como tende a zero quando tende ao infinito, para qualquer , podemos escolher grande o suficiente para que .

Passo 9

Portanto, para todo , existe um tal que, para todos , temos . Isso satisfaz a definição de uma sequência de Cauchy.

Resposta

Assim, mostramos que a sequência é uma sequência de Cauchy.

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