Identifique a curva definida pela função vetorial
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificarmos a curva definida pela função vetorial
. Estamos trabalhando com funções vetoriais no espaço 3D, então vamos precisar entender um pouco de geometria analítica e como essas funções definem curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial:
Essas funções descrevem como cada coordenada
,
e
varia em função do parâmetro
.
Passo 3
Vamos observar que
e
. Sabemos que
, então:
Isso significa que a projeção da curva no plano
é um círculo de raio 1.
Passo 4
Agora, vejamos a componente
. Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que a coordenada
está diretamente ligada à coordenada
.
Passo 5
Combinando as duas relações que encontramos:
Podemos eliminar o parâmetro
e relacionar
e
diretamente:
Isso é a equação de uma circunferência no plano
, centrada em
com raio 1.
Passo 6
Portanto, a curva definida pela função vetorial
é a interseção de um cilindro circular
com o plano inclinado
. Essa interseção resulta em uma circunferência.
Resposta
A curva definida pela função vetorial
é uma circunferência no espaço tridimensional, formada pela interseção do cilindro circular
com o plano inclinado
.
Exercícios relacionados
Suponha que
e
sejam séries com termos positivos e que
sejam divergente.
(b) Se para todo
, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
(b) Se
Seja
um conjunto, denotemos com
o conjunto onde seus elementos são todos os subconjuntos de
.
(a) Seja determine os 8 elementos de
.
(b) Mostre usando indução que, se
tem
elementos então
tem
elementos.
(a) Seja
(b)
Calcule o comprimento das curvas:
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