Identifique a curva definida pela função vetorial
r(t) = (cos(t), sen(t), 2 - sen(t));

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificarmos a curva definida pela função vetorial . Estamos trabalhando com funções vetoriais no espaço 3D, então vamos precisar entender um pouco de geometria analítica e como essas funções definem curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial:
Essas funções descrevem como cada coordenada , e varia em função do parâmetro .

Passo 3

Vamos observar que e . Sabemos que , então:
Isso significa que a projeção da curva no plano é um círculo de raio 1.

Passo 4

Agora, vejamos a componente . Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que a coordenada está diretamente ligada à coordenada .

Passo 5

Combinando as duas relações que encontramos:
Podemos eliminar o parâmetro e relacionar e diretamente:
Isso é a equação de uma circunferência no plano , centrada em com raio 1.

Passo 6

Portanto, a curva definida pela função vetorial é a interseção de um cilindro circular com o plano inclinado . Essa interseção resulta em uma circunferência.

Resposta

A curva definida pela função vetorial é uma circunferência no espaço tridimensional, formada pela interseção do cilindro circular com o plano inclinado .

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