Mostre que o conjunto não é enumerável.

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo: provar que o conjunto não é enumerável. Isso significa que não dá para listar todos os subconjuntos dos números naturais de forma que cada um apareça na lista. Para resolver isso, vamos usar o conceito de enumeração e o argumento diagonal de Cantor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser enumerável. Um conjunto é enumerável se conseguimos colocá-lo em uma lista infinita onde cada elemento aparece uma vez. Por exemplo, os números naturais são enumeráveis porque podemos listá-los: 1, 2, 3, 4, …

Passo 3

Agora, vamos pensar no conjunto , que é o conjunto de todos os subconjuntos dos números naturais. Isso inclui todos os possíveis conjuntos que podemos formar com números naturais, como o conjunto vazio, conjuntos finitos e infinitos.

Passo 4

Para provar que não é enumerável, vamos supor que ele seja. Ou seja, vamos imaginar que conseguimos listar todos os subconjuntos de . Vamos chamar essa lista de .

Passo 5

Agora, vamos construir um novo conjunto usando a ideia do argumento diagonal. Para cada número natural , vamos decidir se ele está ou não em com base na lista. Especificamente, se está no conjunto , então não estará em . Se não está em , então estará em .
Matematicamente, podemos definir:

Passo 6

Agora, vamos verificar se está na nossa lista original. Suponha que seja igual a algum na lista.
  • Se , então, por definição de , . Mas , então isso significa , o que é uma contradição.
  • Se , então, novamente pela definição de , . Mas , então isso significa , o que também é uma contradição.

Passo 7

Essa contradição mostra que não pode estar na nossa lista original, ou seja, sempre podemos criar um subconjunto que não está na lista. Portanto, nossa suposição de que é enumerável está errada.

Resposta

Assim, concluímos que o conjunto não é enumerável.

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Identifique a curva definida pela função vetorial
;
Suponha que e sejam séries com termos positivos e que sejam divergente.
(b) Se para todo , o que você pode dizer sobre ? Por quê?
Calcule o comprimento das curvas:
;
Suponha que sejam séries com termos positivos e que sejam convergente.
(b) Se para todo , o que você pode dizer sobre ? Por quê?