Mostre que o conjunto
não é enumerável.
Passo 1
Vamos ver o que a questão está pedindo: provar que o conjunto
não é enumerável. Isso significa que não dá para listar todos os subconjuntos dos números naturais de forma que cada um apareça na lista. Para resolver isso, vamos usar o conceito de enumeração e o argumento diagonal de Cantor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser enumerável. Um conjunto é enumerável se conseguimos colocá-lo em uma lista infinita onde cada elemento aparece uma vez. Por exemplo, os números naturais
são enumeráveis porque podemos listá-los: 1, 2, 3, 4, …
Passo 3
Agora, vamos pensar no conjunto
, que é o conjunto de todos os subconjuntos dos números naturais. Isso inclui todos os possíveis conjuntos que podemos formar com números naturais, como o conjunto vazio, conjuntos finitos e infinitos.
Passo 4
Para provar que
não é enumerável, vamos supor que ele seja. Ou seja, vamos imaginar que conseguimos listar todos os subconjuntos de
. Vamos chamar essa lista de
.
Passo 5
Agora, vamos construir um novo conjunto
usando a ideia do argumento diagonal. Para cada número natural
, vamos decidir se ele está ou não em
com base na lista. Especificamente, se
está no conjunto
, então
não estará em
. Se
não está em
, então
estará em
.
Matematicamente, podemos definir:
Passo 6
Agora, vamos verificar se
está na nossa lista original. Suponha que
seja igual a algum
na lista.
- Se
, então, por definição de , . Mas , então isso significa , o que é uma contradição. - Se
, então, novamente pela definição de , . Mas , então isso significa , o que também é uma contradição.
Passo 7
Essa contradição mostra que
não pode estar na nossa lista original, ou seja, sempre podemos criar um subconjunto que não está na lista. Portanto, nossa suposição de que
é enumerável está errada.
Resposta
Assim, concluímos que o conjunto
não é enumerável.
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Identifique a curva definida pela função vetorial
;
Suponha que
e
sejam séries com termos positivos e que
sejam divergente.
(b) Se para todo
, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
(b) Se
Calcule o comprimento das curvas:
;
Suponha que
sejam séries com termos positivos e que
sejam convergente.
(b) Se para todo
, o que você pode dizer sobre
? Por quê?
(b) Se