Um carpinteiro constrói a parede externa de uma casa usando uma camada de madeira com de espessura e uma camada de isopor com espessura de na superfície interna da parede. A madeira possui e o isopor possui . A temperatura da superfície interna da parede é igual a e a temperatura da superfície externa é igual a . Qual é a temperatura na superfície da junção entre a madeira e o isopor?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma parede feita de duas camadas: uma de madeira com 3,0 cm de espessura e outra de isopor com 2,2 cm de espessura. Sabemos as condutividades térmicas de cada material (para a madeira, e para o isopor, ). As temperaturas na superfície interna da parede são 19,0°C e na externa, -10,0°C. Precisamos descobrir qual é a temperatura na interface entre a madeira e o isopor. Vamos usar conceitos de condução de calor para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da lei de condução de calor de Fourier, que nos diz que a taxa de fluxo de calor através de um material é dada por:
onde:
  • é a condutividade térmica do material,
  • é a área,
  • é a diferença de temperatura,
  • é a espessura do material.
Como estamos em regime estacionário (temperaturas constantes no tempo), o fluxo de calor é o mesmo nas duas camadas.

Passo 3

Vamos chamar a temperatura na interface entre a madeira e o isopor de . Temos duas camadas em série, então podemos escrever duas equações para o fluxo de calor:
Para a madeira:
Para o isopor:

Passo 4

Como o fluxo de calor é o mesmo nas duas camadas, podemos igualar as duas expressões:
Observamos que a área se cancela dos dois lados.

Passo 5

Agora, vamos isolar na equação:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Distribuindo os termos:
Vamos reunir os termos com de um lado:
Fatorando :

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores dados:
Substituindo na equação:

Passo 9

Calculando o numerador:
Calculando o denominador:

Passo 10

Agora, dividindo o numerador pelo denominador:

Resposta

A temperatura na superfície da junção entre a madeira e o isopor é aproximadamente .

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