Um carpinteiro constrói a parede externa de uma casa usando uma camada de madeira com 3,0 cm de espessura e uma camada de isopor com espessura de 2,2 cm na superfície interna da parede. A madeira possui k=0,080 W / m cdot K e o isopor possui k=0,027 W / m cdot K. A temperatura da superfície interna da parede é igual a 19,0^circ C e a temperatura da superfície externa é igual a -10,0^circ C. Qual é a temperatura na superfície da junção entre a madeira e o isopor?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma parede feita de duas camadas: uma de madeira com 3,0 cm de espessura e outra de isopor com 2,2 cm de espessura. Sabemos as condutividades térmicas de cada material (para a madeira, e para o isopor, ). As temperaturas na superfície interna da parede são 19,0°C e na externa, -10,0°C. Precisamos descobrir qual é a temperatura na interface entre a madeira e o isopor. Vamos usar conceitos de condução de calor para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da lei de condução de calor de Fourier, que nos diz que a taxa de fluxo de calor Q = k cdot A cdot De através de um material é dada por:
onde:
  • é a condutividade térmica do material,
  • é a área,
  • é a diferença de temperatura,
  • é a espessura do material.
Como estamos em regime estacionário (temperaturas constantes no tempo), o fluxo de calor é o mesmo nas duas camadas.

Passo 3

Vamos chamar a temperatura na interface entre a madeira e o isopor de Q = kmadeira cdot A cdot (Texterna - Tj)dmadeira . Temos duas camadas em série, então podemos escrever duas equações para o fluxo de calor:
Para a madeira:
Q = kisopor cdot A cdot (Tj - Tinterna)disopor
Para o isopor:

Passo 4

Como o fluxo de calor kmadeira cdot A cdot (Texterna - Tj)dmadeira = kisopor cdot A cdot (Tj - Tinterna)disopor é o mesmo nas duas camadas, podemos igualar as duas expressões:
Observamos que a área se cancela dos dois lados.

Passo 5

Agora, vamos isolar kmadeira cdot (Texterna - Tj)dmadeira = kisopor cdot (Tj - Tinterna)disopor na equação:
kmadeira cdot disopor cdot (Texterna - Tj) = kisopor cdot dmadeira cdot (Tj - Tinterna)
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Distribuindo os termos:
kmadeira cdot disopor cdot Texterna - kmadeira cdot disopor cdot Tj = kisopor cdot dmadeira cdot Tj - kisopor cdot dmadeira cdot Tinterna
Vamos reunir os termos com - kmadeira cdot disopor cdot Tj - kisopor cdot dmadeira cdot Tj = - kmadeira cdot disopor cdot Texterna - kisopor cdot dmadeira cdot Tinterna de um lado:
Tj cdot ( kmadeira cdot disopor + kisopor cdot dmadeira ) = kmadeira cdot disopor cdot Texterna + kisopor cdot dmadeira cdot Tinterna
Fatorando :

Passo 7

Isolando Tj = kmadeira cdot disopor cdot Texterna + kisopor cdot dmadeira cdot Tinterna kmadeira cdot disopor + kisopor cdot dmadeira :

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores dados:
  • Tj = 0,080 times 0,022 times (-10) + 0,027 times 0,03 times 19 0,080 times 0,022 + 0,027 times 0,03
Substituindo na equação:

Passo 9

Calculando o numerador:
0,080 times 0,022 times (-10) = -0,0176
0,027 times 0,03 times 19 = 0,01539
Numerador = -0,0176 + 0,01539 = -0,00221
Calculando o denominador:
0,080 times 0,022 = 0,00176
0,027 times 0,03 = 0,00081
Denominador = 0,00176 + 0,00081 = 0,00257

Passo 10

Agora, dividindo o numerador pelo denominador:
Tj = -0,00221 0,00257 approx -0,859 , °C

Resposta

A temperatura na superfície da junção entre a madeira e o isopor é aproximadamente .

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