Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir em quais regiões do plano
-
as condições do Teorema de Existência e Unicidade para equações não lineares são atendidas. A equação que temos é
. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função está bem definida e onde suas derivadas também estão.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função
. Para que essa raiz quadrada faça sentido, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que:
Isso significa que:
Ou seja, estamos falando dos pontos que estão dentro ou na borda de um círculo de raio 1 no plano
-
.
Passo 3
Agora, para o Teorema de Existência e Unicidade funcionar, além de
estar definida, a derivada parcial de
em relação a
também precisa ser contínua nessa região. Vamos calcular essa derivada:
Para que essa derivada exista e seja contínua, o denominador não pode ser zero. Então:
Ou seja:
Isso significa que estamos falando apenas do interior do círculo, excluindo a borda.
Passo 4
Resumindo, as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas quando
. Portanto, a região onde tudo funciona bem é interior de um círculo de raio 1 no plano
-
.
Resposta
A região do plano
-
onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para a equação dada são satisfeitas é:
Exercícios relacionados
Calcule os limites usando a Regra de L
Calcule o comprimento exato da curva, no intervalo indicado:
Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas.
.
Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas.
.