Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir em quais regiões do plano - as condições do Teorema de Existência e Unicidade para equações não lineares são atendidas. A equação que temos é . Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função está bem definida e onde suas derivadas também estão.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função . Para que essa raiz quadrada faça sentido, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que:
Isso significa que:
Ou seja, estamos falando dos pontos que estão dentro ou na borda de um círculo de raio 1 no plano - .

Passo 3

Agora, para o Teorema de Existência e Unicidade funcionar, além de estar definida, a derivada parcial de em relação a também precisa ser contínua nessa região. Vamos calcular essa derivada:
Para que essa derivada exista e seja contínua, o denominador não pode ser zero. Então:
Ou seja:
Isso significa que estamos falando apenas do interior do círculo, excluindo a borda.

Passo 4

Resumindo, as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas quando . Portanto, a região onde tudo funciona bem é interior de um círculo de raio 1 no plano - .

Resposta

A região do plano - onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para a equação dada são satisfeitas é:

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Calcule o comprimento exato da curva, no intervalo indicado:
Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas. .
Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas. .