Construa o gráfico e calcule a área da região limitada pelas curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente construir o gráfico e calcular a área da região limitada pelas curvas
,
e o eixo
. Para isso, vamos precisar entender onde essas curvas se cruzam, desenhar seus gráficos e usar cálculo integral para achar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas
e
. Para isso, igualamos as duas expressões:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
onde as curvas se encontram. Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Desenvolvendo o lado direito:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática igual a zero:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática.
Passo 5
Para resolver
, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 6
Agora que temos os valores de
onde as curvas se cruzam (
e
), vamos identificar qual função está acima da outra nesses intervalos. Para isso, podemos escolher um valor de
entre 2 e 8, por exemplo,
:
Como
, a curva
está acima da
nesse intervalo.
Passo 7
Agora, vamos determinar os pontos onde cada curva corta o eixo
.
Para
:
Para
:
Passo 8
Com todas essas informações, podemos visualizar a região delimitada pelas curvas e pelo eixo
entre
e
. A área total será a soma das áreas entre
e
,
e
, e
e
, considerando qual função está acima em cada intervalo.
Passo 9
Vamos calcular a área entre
e
onde
está acima de
. A área
pode ser encontrada pela integral:
Passo 10
Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integramos
:
Agora, integramos
:
Passo 11
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando:
Para
:
(Nota:
, então
)
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
,
e o eixo
é aproximadamente
unidades quadradas.
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