Construa o gráfico e calcule a área da região limitada pelas curvas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente construir o gráfico e calcular a área da região limitada pelas curvas , e o eixo . Para isso, vamos precisar entender onde essas curvas se cruzam, desenhar seus gráficos e usar cálculo integral para achar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas e . Para isso, igualamos as duas expressões:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de onde as curvas se encontram. Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Desenvolvendo o lado direito:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática igual a zero:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 5

Para resolver , podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 6

Agora que temos os valores de onde as curvas se cruzam ( e ), vamos identificar qual função está acima da outra nesses intervalos. Para isso, podemos escolher um valor de entre 2 e 8, por exemplo, :
Como , a curva está acima da nesse intervalo.

Passo 7

Agora, vamos determinar os pontos onde cada curva corta o eixo .
Para :
Para :

Passo 8

Com todas essas informações, podemos visualizar a região delimitada pelas curvas e pelo eixo entre e . A área total será a soma das áreas entre e , e , e e , considerando qual função está acima em cada intervalo.

Passo 9

Vamos calcular a área entre e onde está acima de . A área pode ser encontrada pela integral:

Passo 10

Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integramos :
Agora, integramos :

Passo 11

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Calculando:
Para :
(Nota: , então )
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas , e o eixo é aproximadamente unidades quadradas.

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