Mostre que o limite nāo existe.
lim x 0 x^2-y^2x^2+y^2
y 0

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos mostrar que o limite
lim(x, y) to (0, 0) x^2 - y^2x^2 + y^2
não existe. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções de várias variáveis. O que vamos precisar saber é que, para que o limite exista, ele deve ter o mesmo valor independente do caminho que usamos para chegar ao ponto . Então, vamos testar diferentes caminhos e ver se encontramos valores diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar chegar ao ponto x^2 - 0^2x^2 + 0^2 = x^2x^2 = 1 pelo eixo , ou seja, fixando . Substituindo na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite é igual a 1.

Passo 3

Agora, vamos tentar outro caminho. Vamos nos aproximar de x^2 - x^2x^2 + x^2 = 02x^2 = 0 pela linha . Substituindo na função, temos:
Portanto, ao nos aproximarmos de pela linha , o limite é igual a 0.

Passo 4

Observamos que, dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de , o limite assume valores diferentes: 1 pelo eixo e 0 pela linha . Isso significa que o limite depende do caminho seguido e, por isso, não existe um único valor para o limite quando se aproxima de .

Resposta

O limite
lim(x, y) to (0, 0) x^2 - y^2x^2 + y^2
não existe, pois diferentes caminhos de aproximação resultam em valores diferentes.

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