Mostre que o limite nāo existe.
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos mostrar que o limite
não existe. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções de várias variáveis. O que vamos precisar saber é que, para que o limite exista, ele deve ter o mesmo valor independente do caminho que usamos para chegar ao ponto
. Então, vamos testar diferentes caminhos e ver se encontramos valores diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar chegar ao ponto
pelo eixo
, ou seja, fixando
. Substituindo
na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite é igual a 1.
Passo 3
Agora, vamos tentar outro caminho. Vamos nos aproximar de
pela linha
. Substituindo
na função, temos:
Portanto, ao nos aproximarmos de
pela linha
, o limite é igual a 0.
Passo 4
Observamos que, dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de
, o limite assume valores diferentes: 1 pelo eixo
e 0 pela linha
. Isso significa que o limite depende do caminho seguido e, por isso, não existe um único valor para o limite quando
se aproxima de
.
Resposta
O limite
não existe, pois diferentes caminhos de aproximação resultam em valores diferentes.