Calcule o comprimento da hélice
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma hélice definida pelas equações paramétricas
, e
, onde
varia de
a
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo do comprimento de curvas no espaço tridimensional usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar das derivadas das funções paramétricas e da fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada.
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas de
,
e
em relação a
:
Essas derivadas nos ajudam a encontrar a taxa de variação de cada coordenada em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o quadrado de cada derivada e somá-los:
Como sabemos que , a expressão simplifica para:
Passo 4
A fórmula para o comprimento da curva parametrizada é dada por:
Substituindo os valores encontrados e os limites de integração:
Passo 5
Como
é uma constante, podemos simplificar a integral:
Resposta
O comprimento da hélice é
unidades.