Calcule o comprimento da hélice x = cos(t), y = sen(t), z = t, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma hélice definida pelas equações paramétricas , e , onde varia de a . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo do comprimento de curvas no espaço tridimensional usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar das derivadas das funções paramétricas e da fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas de , e em relação a :
Essas derivadas nos ajudam a encontrar a taxa de variação de cada coordenada em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado de cada derivada e somá-los:
Como sabemos que , a expressão simplifica para:

Passo 4

A fórmula para o comprimento da curva parametrizada é dada por:
Substituindo os valores encontrados e os limites de integração:

Passo 5

Como é uma constante, podemos simplificar a integral:

Resposta

O comprimento da hélice é unidades.

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