Calcule em cada um dos casos a seguir:
, onde é o arco da parábola da origem até o ponto

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha , onde e . A curva é o arco da parábola , indo da origem até o ponto . Vamos usar cálculo de integrais de linha, que faz parte do cálculo vetorial, para resolver isso. Precisaremos parametrizar a curva e substituir nas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como a parábola é dada por , podemos usar como nosso parâmetro. Então, definimos:
onde varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e em termos de . Derivando e em relação a :

Passo 4

Substituímos , , e na integral original:
Simplificando os termos dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:

Resposta

Somando as integrais:
Então, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

Resolva os problemas de valor inicial:
(f)
Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Calcule o comprimento da hélice .
Determinar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor: