Calcule
em cada um dos casos a seguir:
, onde
é o arco da parábola
da origem até o ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
, onde
e
. A curva
é o arco da parábola
, indo da origem
até o ponto
. Vamos usar cálculo de integrais de linha, que faz parte do cálculo vetorial, para resolver isso. Precisaremos parametrizar a curva e substituir nas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como a parábola é dada por
, podemos usar
como nosso parâmetro. Então, definimos:
onde
varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
em termos de
. Derivando
e
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
,
,
e
na integral original:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Resposta
Somando as integrais:
Então, o valor da integral é
.