Calcule integralgamma L d x+M d y em cada um dos casos a seguir:
L(x, y)=x^2+x y, Q(x, y)=x^2, onde gamma é o arco da parábola y=2 x^2 da origem até o ponto (1,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha integralgamma L d x + M d y, onde L(x, y) = x^2 + x y e M(x, y) = x^2. A curva gamma é o arco da parábola y = 2x^2, indo da origem (0,0) até o ponto (1,2). Vamos usar cálculo de integrais de linha, que faz parte do cálculo vetorial, para resolver isso. Precisaremos parametrizar a curva e substituir nas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva gamma. Como a parábola é dada por y = 2x^2, podemos usar x como nosso parâmetro. Então, definimos:
x = t e y = 2t^2
onde t varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dx e dy em termos de t. Derivando x e y em relação a t:
dx = dxdt dt = 1 cdot dt = dt
dy = dydt dt = 4t cdot dt

Passo 4

Substituímos x, y, dx e dy na integral original:
integralgamma L dx + M dy = integral0^1 ( t^2 + t cdot 2t^2 ) dt + t^2 cdot 4t dt
Simplificando os termos dentro da integral:
integral0^1 ( t^2 + 2t^3 + 4t^3 ) dt = integral0^1 ( t^2 + 6t^3 ) dt

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^1 t^2 dt = [ t^33 ]0^1 = 13 - 0 = 13
integral0^1 6t^3 dt = 6 [ t^44 ]0^1 = 6 ( 14 - 0 ) = 64 = 32

Resposta

Somando as integrais:
13 + 32 = 26 + 96 = 116
Então, o valor da integral é boxeddfrac116.

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