Determinar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os pontos na curva onde o raio de curvatura é menor. Isso quer dizer que vamos procurar os pontos onde a curva está mais “curvada”. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de curvatura e raio de curvatura. Vamos precisar calcular derivadas da função para achar a curvatura e, a partir daí, o raio de curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a curvatura de uma curva parametrizada por é dada pela fórmula:
No nosso caso, , então precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas em relação a .

Passo 3

Calculando a primeira derivada :
E a segunda derivada :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial . Para curvas no plano, isso simplifica para:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos calcular , que é a magnitude da primeira derivada:
Então, a curvatura fica:

Passo 6

O raio de curvatura é o inverso da curvatura:
Para encontrar onde o raio de curvatura é mínimo, precisamos minimizar . Vamos derivar em relação a e igualar a zero para achar os pontos críticos.
Vamos simplificar a expressão de :

Passo 7

Derivando em relação a :
Simplificando:
Igualando a zero:
Dividindo ambos os lados por :
Resolvendo:
Isso não tem solução real, o que significa que o raio de curvatura não possui um mínimo finito na curva dada. Portanto, o raio de curvatura tende a infinito conforme varia.

Resposta

Não existe um ponto na curva onde o raio de curvatura seja mínimo. O raio de curvatura aumenta sem limite ao longo da curva.

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Calcule o comprimento da hélice .
Calcule em cada um dos casos a seguir:
, onde é o arco da parábola da origem até o ponto
Calcule em cada um dos casos abaixo:
sen , é o segmento de reta de até .
Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.