Determinar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os pontos na curva
onde o raio de curvatura é menor. Isso quer dizer que vamos procurar os pontos onde a curva está mais “curvada”. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de curvatura e raio de curvatura. Vamos precisar calcular derivadas da função para achar a curvatura e, a partir daí, o raio de curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a curvatura
de uma curva parametrizada por
é dada pela fórmula:
No nosso caso,
, então precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas em relação a
.
Passo 3
Calculando a primeira derivada
:
E a segunda derivada
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial
. Para curvas no plano, isso simplifica para:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular
, que é a magnitude da primeira derivada:
Então, a curvatura
fica:
Passo 6
O raio de curvatura
é o inverso da curvatura:
Para encontrar onde o raio de curvatura é mínimo, precisamos minimizar
. Vamos derivar
em relação a
e igualar a zero para achar os pontos críticos.
Vamos simplificar a expressão de
:
Passo 7
Derivando
em relação a
:
Simplificando:
Igualando a zero:
Dividindo ambos os lados por
:
Resolvendo:
Isso não tem solução real, o que significa que o raio de curvatura não possui um mínimo finito na curva dada. Portanto, o raio de curvatura tende a infinito conforme
varia.
Resposta
Não existe um ponto na curva
onde o raio de curvatura seja mínimo. O raio de curvatura aumenta sem limite ao longo da curva.
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento da hélice
.
Calcule
em cada um dos casos a seguir:
, onde
é o arco da parábola
da origem até o ponto
Calcule
em cada um dos casos abaixo:
sen
,
é o segmento de reta de
até
.
Verifique se os campos
abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.