Calcule em cada um dos casos abaixo: sen , é o segmento de reta de até .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo integrais de linha. A gente precisa calcular a integral de linha de uma função ao longo do segmento de reta que vai de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha para funções escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta que vai de até . Uma parametrização linear é a mais simples de usar. Podemos expressar como:
onde varia de 0 a 1, e . Então:
Portanto, temos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o diferencial de comprimento . Em parametrizações, é dado por:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 4
Agora, substituímos e na função :
Passo 5
Finalmente, a integral de linha fica:
Simplificando:
Passo 6
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos: