Calcule integralgamma f(x, y) d s em cada um dos casos abaixo:
f(x, y)=x sen y, gamma é o segmento de reta de (0,3) até (4,6).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo integrais de linha. A gente precisa calcular a integral de linha de uma função ao longo do segmento de reta que vai de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha para funções escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta r(t) = r0 + t (r1 - r0) que vai de r(t) = (0, 3) + t (4 - 0, 6 - 3) = (4t, 3 + 3t) até x(t) = 4t e y(t) = 3 + 3t com t in [0, 1] . Uma parametrização linear é a mais simples de usar. Podemos expressar como:
onde varia de 0 a 1, e . Então:
Portanto, temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o diferencial de comprimento ds = raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 , dt . Em parametrizações, dxdt = 4 e dydt = 3 é dado por:
ds = raiz4^2 + 3^2 , dt = raiz16 + 9 , dt = raiz25 , dt = 5 , dt
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 4

Agora, substituímos f(x(t), y(t)) = x(t) sin y(t) = 4t cdot sin(3 + 3t) e na função :

Passo 5

Finalmente, a integral de linha fica:
integralgamma f(x, y) , ds = integral0^1 f(x(t), y(t)) cdot ds = integral0^1 4t cdot sin(3 + 3t) cdot 5 , dt
Simplificando:
= 20 integral0^1 t sin(3 + 3t) , dt

Passo 6

Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
u = t Rightarrow du = dt
dv = sin(3 + 3t) , dt Rightarrow v = -13 cos(3 + 3t)
Aplicando a integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
= -t3 cos(3 + 3t) + 13 integral cos(3 + 3t) , dt
Calculando a última integral:
integral cos(3 + 3t) , dt = 13 sin(3 + 3t) + C
Então, substituindo de volta:
-t3 cos(3 + 3t) + 19 sin(3 + 3t) |0^1

Passo 7

Aplicamos os limites de integração:
Para -13 cos(6) + 19 sin(6) :
-03 cos(3) + 19 sin(3) = 19 sin(3)
Para ( -13 cos(6) + 19 sin(6) ) - ( 19 sin(3) ) :
- 13 cos(6) + 19 (sin(6) - sin(3))
Então, a diferença é:
Simplificando:

Resposta

Portanto, a integral de linha é:
integralgamma f(x, y) , ds = 20 ( - 13 cos(6) + 19 (sin(6) - sin(3)) )
Ou, simplificando ainda mais:
integralgamma f(x, y) , ds = - 203 cos(6) + 209 (sin(6) - sin(3))

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