Calcule em cada um dos casos abaixo:
sen , é o segmento de reta de até .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo integrais de linha. A gente precisa calcular a integral de linha de uma função ao longo do segmento de reta que vai de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha para funções escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta que vai de até . Uma parametrização linear é a mais simples de usar. Podemos expressar como:
onde varia de 0 a 1, e . Então:
Portanto, temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o diferencial de comprimento . Em parametrizações, é dado por:
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 4

Agora, substituímos e na função :

Passo 5

Finalmente, a integral de linha fica:
Simplificando:

Passo 6

Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a integração por partes:
Calculando a última integral:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Aplicamos os limites de integração:
Para :
Para :
Então, a diferença é:
Simplificando:

Resposta

Portanto, a integral de linha é:
Ou, simplificando ainda mais:

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Determinar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor:
Calcule o comprimento da hélice .
Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.