Resolva os problemas de valor inicial:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que vamos resolver é:
E as condições iniciais são:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos começar encontrando a solução geral da equação homogênea e depois achar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Fatorando:
Então, as raízes são:
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de grau 1 (linear), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio, digamos:
Derivando:
Substituindo na equação:
Isso nos dá:
Mas isso não faz sentido, já que
deveria ser uma constante. Então, precisamos ajustar nossa suposição. Vamos tentar um polinômio de grau 2:
Derivando:
Substituindo na equação:
Agora, igualamos os coeficientes:
Para
:
Para os termos constantes:
Então, a solução particular é:
Como não há termo constante no lado direito original,
pode ser zero. Então:
Passo 5
Agora, juntamos a solução geral homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação completa:
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeiro,
:
Segundo,
. Vamos calcular
:
Aplicando
:
Então,
.
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: