Resolva os problemas de valor inicial:
(f) { 5y'' + y' = -6t, y(0) = 0, y'(0) = -10 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que vamos resolver é:
E as condições iniciais são:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos começar encontrando a solução geral da equação homogênea e depois achar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):
Fatorando:
Então, as raízes são:

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de grau 1 (linear), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio, digamos:
Derivando:
Substituindo na equação:
Isso nos dá:
Mas isso não faz sentido, já que A deveria ser uma constante. Então, precisamos ajustar nossa suposição. Vamos tentar um polinômio de grau 2:
Derivando:
Substituindo na equação:
Agora, igualamos os coeficientes:
Para t:
Para os termos constantes:
Então, a solução particular é:
Como não há termo constante no lado direito original, C pode ser zero. Então:

Passo 5

Agora, juntamos a solução geral homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação completa:

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, :
Segundo, . Vamos calcular :
Aplicando :
Então, .

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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