Calcule o comprimento das medianas de um triângulo de vértices A (2, -6) B (-4, 2) C (0, 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra calcular o comprimento das medianas de um triângulo cujos vértices são A (2, -6), B (-4, 2) e C (0, 4). A gente vai usar coordenadas no plano e a fórmula da distância entre pontos pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto médio do lado BC. A mediana partindo de A vai até esse ponto médio. A fórmula do ponto médio é:
MBC = ( xB + xC2, yB + yC2 )
Substituindo os valores:
MBC = ( -4 + 02, 2 + 42 ) = (-2, 3)

Passo 3

Agora, calculamos a distância entre A (2, -6) e M BC (-2, 3) usando a fórmula da distância:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Aplicando os pontos:
d = raiz(-2 - 2)^2 + (3 - (-6))^2 = raiz(-4)^2 + (9)^2 = raiz16 + 81 = raiz97 approx 9,85
Então, a mediana de A mede aproximadamente 9,85 unidades.

Passo 4

Vamos fazer a mesma coisa pra mediana de B. Primeiro, achamos o ponto médio do lado AC:
MAC = ( 2 + 02, -6 + 42 ) = (1, -1)
Agora, calculamos a distância entre B (-4, 2) e M AC (1, -1):
d = raiz(1 - (-4))^2 + (-1 - 2)^2 = raiz(5)^2 + (-3)^2 = raiz25 + 9 = raiz34 approx 5,83
Então, a mediana de B mede aproximadamente 5,83 unidades.

Passo 5

Por último, vamos encontrar a mediana de C. Primeiro, o ponto médio do lado AB:
MAB = ( 2 + (-4)2, -6 + 22 ) = (-1, -2)
Depois, a distância entre C (0, 4) e M AB (-1, -2):
d = raiz(-1 - 0)^2 + (-2 - 4)^2 = raiz(-1)^2 + (-6)^2 = raiz1 + 36 = raiz37 approx 6,08
Então, a mediana de C mede aproximadamente 6,08 unidades.

Resposta

As medianas do triângulo têm os seguintes comprimentos:
  • Mediana de A: aproximadamente 9,85 unidades.
  • Mediana de B: aproximadamente 5,83 unidades.
  • Mediana de C: aproximadamente 6,08 unidades.

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