Em certa curva de uma estrada de ferro, os trilhos mudam a direção em 40 graus. A extensão da curva é de 150 metros. Calcule o raio R da curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma curva de ferro onde os trilhos mudam de direção em 40 graus e a extensão dessa curva é de 150 metros. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o raio $ R $ dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados a círculos e arcos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a curva de ferro pode ser representada como um arco de círculo. Quando um trilho faz uma curva, ele está basicamente seguindo parte da circunferência de um círculo. Para calcular o raio dessa circunferência, precisamos usar a fórmula que relaciona o comprimento do arco ($ s
R
\theta $) da curva.
Passo 3
A fórmula que vamos usar é:
Aqui, $ s $ é o comprimento do arco, $ R $ é o raio que queremos encontrar, e $ \theta $ é o ângulo central em radianos. Note que o ângulo que temos está em graus, então precisamos convertê-lo para radianos primeiro.
Passo 4
Para converter graus em radianos, usamos a relação:
No nosso caso, $ \theta = 40^\circ $, então:
Passo 5
Agora que temos o ângulo em radianos, podemos substituir os valores na fórmula do comprimento do arco:
Para encontrar $ R $, vamos isolar ele na equação:
Passo 6
Vamos calcular agora:
Resposta
O raio $ R $ da curva é aproximadamente 214,6 metros.