Calcule o comprimento da porção da curva , situada entre seus pontos de interseção com o eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma porção de uma curva definida por e , que está localizada entre os pontos onde essa curva cruza o eixo (o eixo X). Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que envolve derivadas e integrais. Vamos precisar encontrar os pontos de interseção com o eixo e depois aplicar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os pontos onde a curva cruza o eixo . Isso acontece quando . Vamos igualar a expressão de a zero e resolver para :

Passo 3

Agora, resolvemos a equação . Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
Isso nos dá duas soluções:
  1. ou

Passo 4

Então, os valores de onde a curva intercepta o eixo são , e . Vamos considerar os pontos extremos e para calcular o comprimento da curva entre esses dois pontos.

Passo 5

Para encontrar o comprimento da curva entre e , usamos a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Onde e .

Passo 6

Vamos calcular as derivadas e :
Primeiro, , então:
Segundo, . Vamos simplificar antes de derivar:
Então:

Passo 7

Agora, substituímos as derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 8

A expressão dentro da raiz é um quadrado perfeito, então podemos simplificar:
é
Portanto, a integral fica:

Passo 9

Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de a :

Passo 10

Calculando os termos:
Substituindo:

Resposta

O comprimento da porção da curva entre os pontos de interseção com o eixo é unidades.

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(Sugestão: Faça o cálculo solicitado usando as equações paramétricas da astróide e considerando, inicialmente, , para, assim, obter o comprimento da porção da curva contida no primeiro quadrante.)
Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração.
k) e e .