Calcule o comprimento da porção da curva
, situada entre seus pontos de interseção com o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma porção de uma curva definida por
e
, que está localizada entre os pontos onde essa curva cruza o eixo
(o eixo X). Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que envolve derivadas e integrais. Vamos precisar encontrar os pontos de interseção com o eixo
e depois aplicar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os pontos onde a curva cruza o eixo
. Isso acontece quando
. Vamos igualar a expressão de
a zero e resolver para
:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação
. Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
Isso nos dá duas soluções:
-
-
ou
Passo 4
Então, os valores de
onde a curva intercepta o eixo
são
,
e
. Vamos considerar os pontos extremos
e
para calcular o comprimento da curva entre esses dois pontos.
Passo 5
Para encontrar o comprimento da curva entre
e
, usamos a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Onde
e
.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas
e
:
Primeiro,
, então:
Segundo,
. Vamos simplificar antes de derivar:
Então:
Passo 7
Agora, substituímos as derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 8
A expressão dentro da raiz é um quadrado perfeito, então podemos simplificar:
Portanto, a integral fica:
Passo 9
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de
a
:
Passo 10
Calculando os termos:
Substituindo:
Resposta
O comprimento da porção da curva entre os pontos de interseção com o eixo
é
unidades.
Exercícios relacionados
Determine o comprimento do arco da curva
, situado entre os pontos com ordenadas
e
.
Esboce graficamente o arco da curva
que é limitado pela reta
, calculando em seguida seu comprimento.
Calcule o comprimento total da curva fechada de equação
. Esta curva é denominada astróide ou, também, hipociclóide de quatro cúspides e tem representação paramétrica dada pelas equações
e
.
(Sugestão: Faça o cálculo solicitado usando as equações paramétricas da astróide e considerando, inicialmente, , para, assim, obter o comprimento da porção da curva contida no primeiro quadrante.)
(Sugestão: Faça o cálculo solicitado usando as equações paramétricas da astróide e considerando, inicialmente,
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
k) e
e
.
k)