Calcule as integrais integral triplaB f(x, y, z) d x d y d z. Faça um esboço da região de integração.
k) f(x, y, z)=z e B: x^2+y^2+z^2 <= 9 e z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região , que é definida por e . Isso está dentro da matéria de cálculo integral, mais especificamente em integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, já que a região é uma metade de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . A equação descreve uma esfera de raio 3 centrada na origem. Como temos a condição , estamos falando apenas da metade superior dessa esfera. Então, é um hemisfério superior com raio 3.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas para facilitar a integração. Nas coordenadas esféricas, temos:
x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi
E o volume diferencial é dado por:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Como estamos lidando com o hemisfério superior, os limites das coordenadas serão:
0 <= rho <= 3, 0 <= phi <= pi2, 0 <= theta <= 2pi

Passo 4

Vamos reescrever a função f(rho, phi, theta) = rho cos phi em coordenadas esféricas. Sabemos que integral triplaB z , dV = integral0^2pi integral0^pi2 integral0^3 (rho cos phi) cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta , então:
integral triplaB z , dV = integral0^2pi integral0^pi2 integral0^3 rho^3 cos phi sin phi , drho , dphi , dtheta
Agora, a integral tripla fica:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^3 rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^3 = 814 :
814 integral0^2pi integral0^pi2 cos phi sin phi , dphi , dtheta
Agora, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar agora em relação a u = cos phi Rightarrow du = -sin phi , dphi . Observe que integral cos phi sin phi , dphi = -12 cos^2 phi pode ser integrado usando substituição:
-12 [ cos^2 ( pi2 ) - cos^2(0) ] = -12 (0 - 1) = 12
Então:
814 cdot 12 integral0^2pi dtheta = 818 integral0^2pi dtheta
Aplicando os limites:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :
818 cdot 2pi = 814 pi
Multiplicando tudo:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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