Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração.
k) e e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região , que é definida por e . Isso está dentro da matéria de cálculo integral, mais especificamente em integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, já que a região é uma metade de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . A equação descreve uma esfera de raio 3 centrada na origem. Como temos a condição , estamos falando apenas da metade superior dessa esfera. Então, é um hemisfério superior com raio 3.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas para facilitar a integração. Nas coordenadas esféricas, temos:
E o volume diferencial é dado por:
Como estamos lidando com o hemisfério superior, os limites das coordenadas serão:

Passo 4

Vamos reescrever a função em coordenadas esféricas. Sabemos que , então:
Agora, a integral tripla fica:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar agora em relação a . Observe que pode ser integrado usando substituição:
Então:
Aplicando os limites:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a :
Multiplicando tudo:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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Calcule o comprimento total da curva fechada de equação . Esta curva é denominada astróide ou, também, hipociclóide de quatro cúspides e tem representação paramétrica dada pelas equações e .
(Sugestão: Faça o cálculo solicitado usando as equações paramétricas da astróide e considerando, inicialmente, , para, assim, obter o comprimento da porção da curva contida no primeiro quadrante.)
Calcule o comprimento da porção da curva , situada entre seus pontos de interseção com o eixo .
Considere o sólido compreendido entre o paraboloide e o plano . Escreva o sólido na forma e e calcule a integral tripla de sobre .
8
Pesquise sobre as fórmulas de centro de massa, , de um sólido e as use para calcular o centro de massa do paralelepípedo cuja função densidade de massa no ponto é a soma das coordenadas do ponto.