Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração.
k) e e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região , que é definida por e . Isso está dentro da matéria de cálculo integral, mais especificamente em integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, já que a região é uma metade de uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . A equação descreve uma esfera de raio 3 centrada na origem. Como temos a condição , estamos falando apenas da metade superior dessa esfera. Então, é um hemisfério superior com raio 3.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas para facilitar a integração. Nas coordenadas esféricas, temos:
E o volume diferencial é dado por:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Como estamos lidando com o hemisfério superior, os limites das coordenadas serão:
0 <= rho <= 3, 0 <= phi <= pi2, 0 <= theta <= 2pi
Passo 4
Vamos reescrever a função f(rho, phi, theta) = rho cos phi em coordenadas esféricas. Sabemos que integral triplaB z , dV = integral0^2pi integral0^pi2 integral0^3 (rho cos phi) cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta , então:
integral triplaB z , dV = integral0^2pi integral0^pi2 integral0^3 rho^3 cos phi sin phi , drho , dphi , dtheta
Agora, a integral tripla fica:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^3 rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^3 = 814 :
814 integral0^2pi integral0^pi2 cos phi sin phi , dphi , dtheta
Agora, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar agora em relação a u = cos phi Rightarrow du = -sin phi , dphi . Observe que integral cos phi sin phi , dphi = -12 cos^2 phi pode ser integrado usando substituição: