Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração.
k) e e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região , que é definida por e . Isso está dentro da matéria de cálculo integral, mais especificamente em integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas, já que a região é uma metade de uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . A equação descreve uma esfera de raio 3 centrada na origem. Como temos a condição , estamos falando apenas da metade superior dessa esfera. Então, é um hemisfério superior com raio 3.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas para facilitar a integração. Nas coordenadas esféricas, temos:
E o volume diferencial é dado por:
Como estamos lidando com o hemisfério superior, os limites das coordenadas serão:
Passo 4
Vamos reescrever a função em coordenadas esféricas. Sabemos que , então:
Agora, a integral tripla fica:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar agora em relação a . Observe que pode ser integrado usando substituição: