Calcule o comprimento total da curva fechada de equação
. Esta curva é denominada astróide ou, também, hipociclóide de quatro cúspides e tem representação paramétrica dada pelas equações
e
.
(Sugestão: Faça o cálculo solicitado usando as equações paramétricas da astróide e considerando, inicialmente,
, para, assim, obter o comprimento da porção da curva contida no primeiro quadrante.)
(Sugestão: Faça o cálculo solicitado usando as equações paramétricas da astróide e considerando, inicialmente,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento total da curva fechada definida pela equação
. Essa curva é conhecida como uma astróide ou hipociclóide de quatro cúspides. Para resolver isso, vamos usar as equações paramétricas da astróide:
Vamos calcular o comprimento da curva no primeiro quadrante, onde
, e depois multiplicar por 4 para obter o comprimento total.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular o comprimento de uma curva paramétrica. A fórmula para o comprimento
de uma curva definida por
e
é:
Isso significa que vamos derivar
e
em relação a
, encontrar essas derivadas ao quadrado, somar e tirar a raiz quadrada antes de integrar.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos elevar essas derivadas ao quadrado e somar:
Passo 5
Vamos fatorar os termos comuns:
Sabemos que
, então simplificamos para:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na fórmula do comprimento:
Aqui, tirei a raiz quadrada e simplifiquei o resultado.
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Podemos usar uma substituição simples. Seja
, então
.
Passo 8
Esse é o comprimento da curva no primeiro quadrante. Como a astróide tem quatro partes iguais, multiplicamos por 4 para encontrar o comprimento total:
Resposta
O comprimento total da curva fechada é
.
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento da porção da curva
, situada entre seus pontos de interseção com o eixo
.
Determine o comprimento do arco da curva
, situado entre os pontos com ordenadas
e
.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
k) e
e
.
k)
Considere
o sólido compreendido entre o paraboloide
e o plano
. Escreva o sólido
na forma
e
e calcule a integral tripla de
sobre
.