Calcule o comprimento total da curva fechada de equação . Esta curva é denominada astróide ou, também, hipociclóide de quatro cúspides e tem representação paramétrica dada pelas equações e .
(Sugestão: Faça o cálculo solicitado usando as equações paramétricas da astróide e considerando, inicialmente, , para, assim, obter o comprimento da porção da curva contida no primeiro quadrante.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento total da curva fechada definida pela equação . Essa curva é conhecida como uma astróide ou hipociclóide de quatro cúspides. Para resolver isso, vamos usar as equações paramétricas da astróide:
Vamos calcular o comprimento da curva no primeiro quadrante, onde , e depois multiplicar por 4 para obter o comprimento total.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular o comprimento de uma curva paramétrica. A fórmula para o comprimento de uma curva definida por e é:
Isso significa que vamos derivar e em relação a , encontrar essas derivadas ao quadrado, somar e tirar a raiz quadrada antes de integrar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Agora, vamos elevar essas derivadas ao quadrado e somar:

Passo 5

Vamos fatorar os termos comuns:
Sabemos que , então simplificamos para:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na fórmula do comprimento:
Aqui, tirei a raiz quadrada e simplifiquei o resultado.

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Podemos usar uma substituição simples. Seja , então .

Passo 8

Esse é o comprimento da curva no primeiro quadrante. Como a astróide tem quatro partes iguais, multiplicamos por 4 para encontrar o comprimento total:

Resposta

O comprimento total da curva fechada é .

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Calcule o comprimento da porção da curva , situada entre seus pontos de interseção com o eixo .
Determine o comprimento do arco da curva , situado entre os pontos com ordenadas e .
Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração.
k) e e .
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