Considere
o sólido compreendido entre o paraboloide
e o plano
. Escreva o sólido
na forma
e
e calcule a integral tripla de
sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sólido
que está entre o paraboloide
e o plano
. A gente precisa primeiro descrever esse sólido na forma
e depois calcular a integral tripla de
sobre esse sólido. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como regiões de integração e integrais triplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como descrever o sólido
. O paraboloide
e o plano
se interceptam quando
, que é um círculo de raio
no plano
. Então, a projeção de
no plano
é o disco
.
Passo 3
Agora, expressamos
na forma solicitada. Aqui,
é a região no plano
onde
. Para cada ponto
em
,
varia de
até
. Então, temos:
Passo 4
Agora vamos calcular a integral tripla de
sobre
. É mais fácil mudar para coordenadas cilíndricas porque a região
é um disco circular. Lembrando que em coordenadas cilíndricas:
E o elemento de volume é
.
Passo 5
Vamos reescrever a função
e os limites de integração em coordenadas cilíndricas. A função fica:
E os limites para
são de 0 a
, para
de 0 a
, e para
de
a 3.
Passo 6
Agora montamos a integral tripla:
Aqui,
vem da função
multiplicada pelo elemento de volume.
Passo 7
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, nossa integral fica:
Passo 8
Integramos agora em relação a
:
Passo 9
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
A integral tripla de
sobre o sólido
é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
k) e
e
.
k)
Calcule o comprimento total da curva fechada de equação
. Esta curva é denominada astróide ou, também, hipociclóide de quatro cúspides e tem representação paramétrica dada pelas equações
e
.
(Sugestão: Faça o cálculo solicitado usando as equações paramétricas da astróide e considerando, inicialmente, , para, assim, obter o comprimento da porção da curva contida no primeiro quadrante.)
(Sugestão: Faça o cálculo solicitado usando as equações paramétricas da astróide e considerando, inicialmente,
8
Pesquise sobre as fórmulas de centro de massa, , de um sólido e as use para calcular o centro de massa do paralelepípedo
cuja função densidade de massa no ponto
é a soma das coordenadas do ponto.
Pesquise sobre as fórmulas de centro de massa,
Calcule o fio delgado, descrito pela curva
com
.
b) Calcule o momento de inércia e o centro de massa, considerando que o fio seja homogêneo.
b) Calcule o momento de inércia e o centro de massa, considerando que o fio seja homogêneo.