Considere o sólido compreendido entre o paraboloide e o plano . Escreva o sólido na forma e e calcule a integral tripla de sobre .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sólido que está entre o paraboloide e o plano . A gente precisa primeiro descrever esse sólido na forma e depois calcular a integral tripla de sobre esse sólido. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como regiões de integração e integrais triplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como descrever o sólido . O paraboloide e o plano se interceptam quando , que é um círculo de raio no plano . Então, a projeção de no plano é o disco .

Passo 3

Agora, expressamos na forma solicitada. Aqui, é a região no plano onde . Para cada ponto em , varia de até . Então, temos:

Passo 4

Agora vamos calcular a integral tripla de sobre . É mais fácil mudar para coordenadas cilíndricas porque a região é um disco circular. Lembrando que em coordenadas cilíndricas:
E o elemento de volume é .

Passo 5

Vamos reescrever a função e os limites de integração em coordenadas cilíndricas. A função fica:
E os limites para são de 0 a , para de 0 a , e para de a 3.

Passo 6

Agora montamos a integral tripla:
Aqui, vem da função multiplicada pelo elemento de volume.

Passo 7

Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, nossa integral fica:

Passo 8

Integramos agora em relação a :

Passo 9

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

A integral tripla de sobre o sólido é .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração.
k) e e .
Calcule o comprimento total da curva fechada de equação . Esta curva é denominada astróide ou, também, hipociclóide de quatro cúspides e tem representação paramétrica dada pelas equações e .
(Sugestão: Faça o cálculo solicitado usando as equações paramétricas da astróide e considerando, inicialmente, , para, assim, obter o comprimento da porção da curva contida no primeiro quadrante.)
8
Pesquise sobre as fórmulas de centro de massa, , de um sólido e as use para calcular o centro de massa do paralelepípedo cuja função densidade de massa no ponto é a soma das coordenadas do ponto.
Calcule o fio delgado, descrito pela curva com .
b) Calcule o momento de inércia e o centro de massa, considerando que o fio seja homogêneo.