Calcule os comprimentos das curvas descritas abaixo:
(27.4)
(27.4)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva definida pelas equações paramétricas
e
para
entre 0 e 1. Isso envolve entender um pouco de cálculo, especificamente sobre como medir o comprimento de curvas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos
e
, o comprimento
da curva de
até
é dado por:
Passo 3
No nosso caso, a curva é definida por
e
. Vamos calcular as derivadas
e
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento, temos:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral de
de 0 a 1. Para isso, encontramos onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal, ou seja, onde
. Isso ocorre quando
.
Então, dividimos a integral em duas partes:
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades de comprimento.