Calcule os comprimentos das curvas descritas abaixo:
(27.4) x = t - t^2, y = 0, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de uma curva definida pelas equações paramétricas e para entre 0 e 1. Isso envolve entender um pouco de cálculo, especificamente sobre como medir o comprimento de curvas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos e , o comprimento da curva de até é dado por:

Passo 3

No nosso caso, a curva é definida por e . Vamos calcular as derivadas e :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento, temos:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral de de 0 a 1. Para isso, encontramos onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal, ou seja, onde . Isso ocorre quando .
Então, dividimos a integral em duas partes:
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:

Resposta

O comprimento da curva é unidades de comprimento.

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