Encontre a área da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo y :
(a) x = 3 t^2, y = 2 t^3, 0 <= t <= 1

Passo 1

Oi! Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo . A curva é dada por:
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área de superfície de uma curva parametrizada rotacionada em torno do eixo .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área da superfície quando uma curva parametrizada e é rotacionada em torno do eixo :
Aqui, e são os limites do parâmetro , que no nosso caso vão de 0 a 1.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão dentro da raiz:

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da área, temos:

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição , então . Reescrevendo a integral:

Passo 7

Expandindo a expressão dentro da integral:
Simplificando:

Passo 8

Substituímos de volta e avaliamos de a :
Calculando nos limites:

Passo 9

Multiplicando pelo fator :

Resposta

A área da superfície é .

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