Encontre a área da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo :
(a)
Passo 1
Oi! Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo . A curva é dada por:
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área de superfície de uma curva parametrizada rotacionada em torno do eixo .
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área da superfície quando uma curva parametrizada e é rotacionada em torno do eixo :
Aqui, e são os limites do parâmetro , que no nosso caso vão de 0 a 1.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na expressão dentro da raiz:
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula da área, temos:
Passo 6
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição , então . Reescrevendo a integral: