Encontre a área da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo
:
(a)
(a)
Passo 1
Oi! Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo
. A curva é dada por:
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área de superfície de uma curva parametrizada rotacionada em torno do eixo
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área da superfície quando uma curva parametrizada
e
é rotacionada em torno do eixo
:
Aqui,
e
são os limites do parâmetro
, que no nosso caso vão de 0 a 1.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na expressão dentro da raiz:
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula da área, temos:
Passo 6
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição
, então
. Reescrevendo a integral:
Passo 7
Expandindo a expressão dentro da integral:
Simplificando:
Passo 8
Substituímos
de volta e avaliamos de
a
:
Calculando nos limites:
Passo 9
Multiplicando pelo fator
:
Resposta
A área da superfície é
.