Encontre valores reais para alpha, beta e gamma tais que a função f seja contínua nos pontos x0=1 e x0=2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar valores reais para , e de modo que a função seja contínua nos pontos e . Isso envolve o estudo de continuidade de funções, um conceito fundamental no cálculo. Para resolver, vamos analisar os limites da função à esquerda e à direita desses pontos e garantir que eles coincidam com o valor da função nesses mesmos pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir a continuidade em f(x) = sen(x-1)x-1 . A função está definida de três maneiras diferentes dependendo do valor de . Para , temos:
Queremos o limite dessa expressão quando se aproxima de 1 pela esquerda.
Passo 3
Sabemos que . Aqui, substituindo limx to 1^- f(x) = 1 , quando , . Portanto:
Passo 4
Agora, para f(1) = beta(x^2-1)x-1 , a função é dada por:
Substituindo , temos uma indeterminação do tipo . Para resolver isso, podemos simplificar a expressão.
Passo 5
Simplificando x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) :
f(1) = beta(x - 1)(x + 1)x - 1 = beta(x + 1)
Assim:
f(1) = beta(1 + 1) = 2beta
Agora, substituindo :
Passo 6
Para que a função seja contínua em 2beta = 1 implies beta = 12 , o limite à esquerda deve ser igual ao valor da função:
Passo 7
Agora, vamos analisar a continuidade em f(x) = gamma(x^2+1)2x . Para , a função é:
Queremos o limite dessa expressão quando se aproxima de 2 pela esquerda.
Passo 8
Calculando o limite quando limx to 2^- f(x) = gamma(2^2+1)2 cdot 2 = gamma cdot 54 :
Passo 9
Para que a função seja contínua em 5gamma4 = f(2) , esse limite deve ser igual ao valor da função em . Supondo que a função esteja definida de maneira que exista e seja igual a esse limite:
Se não houver outra definição para , assumimos que a função deve simplesmente atender a essa igualdade para ser contínua.
Passo 10
Como não há outra expressão definida para , precisamos apenas garantir que o limite seja consistente. Portanto, não há necessidade adicional de resolver para , já que a continuidade depende da expressão estar bem definida, o que já garantimos.
Resposta
Os valores reais que tornam a função contínua são: