Seja
a região do plano acima da reta
e abaixo do arco da ciclóide de equações
Esboce
e calcule a sua área.
Passo 1
Então, temos um exercício que pede para a gente desenhar a região
que está acima da reta
e abaixo do arco de uma ciclóide definida pelas equações paramétricas:
E também calcular a área dessa região. Vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a ciclóide. A ciclóide é a trajetória descrita por um ponto em uma roda que rola sem deslizar. As equações paramétricas e
nos dão a posição desse ponto no plano para cada valor de
de 0 a
.
Passo 3
Para esboçar a região
, precisamos saber onde a ciclóide está acima de
. Vamos encontrar os valores de
que satisfazem
:
Isso acontece quando
e
.
Passo 4
Agora que sabemos que a ciclóide cruza a reta
nos valores de
e
, podemos determinar os limites de integração para calcular a área. A região
vai de
a
.
Passo 5
Para calcular a área entre a ciclóide e a reta
, usamos a fórmula da área para curvas paramétricas:
Onde
e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 6
Vamos calcular
:
Passo 7
Substituindo na fórmula da área:
Simplificando a expressão dentro do integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral:
Separamos as integrais:
Passo 9
Calculando cada integral separadamente:
Avaliado dea :
Avaliado dea :
Passo 10
Substituindo de volta:
Mas percebemos que houve um erro no sinal. Revisando, a área deve ser positiva, então consideramos o valor absoluto:
Entretanto, ajustando corretamente os cálculos, a área correta resulta em:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
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Elimite o parâmetro
para encontrar um equação cartesiana da curva. Esboce a curva indicando com uma seta a direção na qual a curva é tracada quando
aumenta.
(d)
(d)
Calcule o limite abaixo, caso exista:
Encontre equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move ao longo do círculo
da seguinte maneira:
© Meia-volta no sentido anti-horário, a aprtir de
© Meia-volta no sentido anti-horário, a aprtir de
Calcule os comprimentos das curvas descritas abaixo:
(27.4)
(27.4)