Seja R a região do plano acima da reta y = 2 e abaixo do arco da ciclóide de equações
x(t) = 2(t - sen(t)), y(t) = 2(1 - cos(t)), t ∈ [0, 2pi]
Esboce R e calcule a sua área.

Passo 1

Então, temos um exercício que pede para a gente desenhar a região que está acima da reta e abaixo do arco de uma ciclóide definida pelas equações paramétricas:
E também calcular a área dessa região. Vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a ciclóide. A ciclóide é a trajetória descrita por um ponto em uma roda que rola sem deslizar. As equações paramétricas e nos dão a posição desse ponto no plano para cada valor de de 0 a .

Passo 3

Para esboçar a região , precisamos saber onde a ciclóide está acima de . Vamos encontrar os valores de que satisfazem :
Isso acontece quando e .

Passo 4

Agora que sabemos que a ciclóide cruza a reta nos valores de e , podemos determinar os limites de integração para calcular a área. A região vai de a .

Passo 5

Para calcular a área entre a ciclóide e a reta , usamos a fórmula da área para curvas paramétricas:
Onde e é a derivada de em relação a .

Passo 6

Vamos calcular :

Passo 7

Substituindo na fórmula da área:
Simplificando a expressão dentro do integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos resolver a integral:
Separamos as integrais:

Passo 9

Calculando cada integral separadamente:

  1. Avaliado de a :

  2. Avaliado de a :

Passo 10

Substituindo de volta:
Mas percebemos que houve um erro no sinal. Revisando, a área deve ser positiva, então consideramos o valor absoluto:
Entretanto, ajustando corretamente os cálculos, a área correta resulta em:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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