Encontre equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move ao longo do círculo
da seguinte maneira:
© Meia-volta no sentido anti-horário, a aprtir de
© Meia-volta no sentido anti-horário, a aprtir de
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar equações paramétricas que descrevem o caminho de uma partícula que se move ao longo do círculo definido por
. A movimentação é uma meia-volta no sentido anti-horário, começando no ponto
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria de círculos e funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as características do círculo dado pela equação
. Essa equação está na forma padrão de um círculo, que é
, onde
é o centro e
é o raio.
Passo 3
Comparando as duas equações, vemos que:
- Centro
- Raio
Então, nosso círculo tem centro no ponto
e raio 2.
Passo 4
Agora, vamos definir as equações paramétricas do círculo. Em geral, para um círculo com centro
e raio
, as equações paramétricas são:
Aqui,
é o parâmetro que representa o ângulo em radianos.
Passo 5
Aplicando os valores do nosso círculo:
Essas são as equações paramétricas gerais para o círculo.
Passo 6
Agora, precisamos considerar a movimentação da partícula: uma meia-volta no sentido anti-horário, começando em
. O ponto
corresponde a
porque:
Passo 7
Uma meia-volta equivale a um ângulo de
radianos. Então, se começamos em
, vamos até
.
Passo 8
Portanto, as equações paramétricas que descrevem essa movimentação são:
onde
varia de
a
para representar a meia-volta no sentido anti-horário.
Resposta
As equações paramétricas são:
com
variando de
a
.