Encontre equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move ao longo do círculo da seguinte maneira:
© Meia-volta no sentido anti-horário, a aprtir de

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar equações paramétricas que descrevem o caminho de uma partícula que se move ao longo do círculo definido por . A movimentação é uma meia-volta no sentido anti-horário, começando no ponto . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria de círculos e funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as características do círculo dado pela equação . Essa equação está na forma padrão de um círculo, que é , onde é o centro e é o raio.

Passo 3

Comparando as duas equações, vemos que:
  • Centro
  • Raio
Então, nosso círculo tem centro no ponto e raio 2.

Passo 4

Agora, vamos definir as equações paramétricas do círculo. Em geral, para um círculo com centro e raio , as equações paramétricas são:
Aqui, é o parâmetro que representa o ângulo em radianos.

Passo 5

Aplicando os valores do nosso círculo:
Essas são as equações paramétricas gerais para o círculo.

Passo 6

Agora, precisamos considerar a movimentação da partícula: uma meia-volta no sentido anti-horário, começando em . O ponto corresponde a porque:

Passo 7

Uma meia-volta equivale a um ângulo de radianos. Então, se começamos em , vamos até .

Passo 8

Portanto, as equações paramétricas que descrevem essa movimentação são:
onde varia de a para representar a meia-volta no sentido anti-horário.

Resposta

As equações paramétricas são:
com variando de a .

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(d)
Calcule os comprimentos das curvas descritas abaixo:
(27.4)
Considere a função:
Encontre valores reais para e tais que a função seja contínua nos pontos e .