Calcule os comprimentos das seguintes curvas: .

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento da curva dada por para no intervalo . Esse problema está relacionado ao cálculo de comprimentos de curvas no cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos uma curva de a , o comprimento é dado por:
Essa fórmula calcula a soma infinita dos pequenos segmentos da curva, essencialmente “esticando” a curva em pedacinhos infinitesimais e somando seus comprimentos.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à nossa curva. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a .
Dada a curva:
Calculando as derivadas:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Integrando:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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Para cada um dos itens abaixo, calcule .
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