Calcule os comprimentos das seguintes curvas:
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento da curva dada por
para
no intervalo
. Esse problema está relacionado ao cálculo de comprimentos de curvas no cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos uma curva
de
a
, o comprimento
é dado por:
Essa fórmula calcula a soma infinita dos pequenos segmentos da curva, essencialmente “esticando” a curva em pedacinhos infinitesimais e somando seus comprimentos.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula à nossa curva. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
Dada a curva:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Integrando:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.
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Para cada um dos itens abaixo, calcule
.
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