Calcule os comprimentos das seguintes curvas: γ(t) = (1 - cos(t), 1 - sen(t)), t ∈ [0, pi].

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento da curva dada por para t no intervalo [0, pi]. Esse problema está relacionado ao cálculo de comprimentos de curvas no cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos uma curva de a , o comprimento L é dado por:
Essa fórmula calcula a soma infinita dos pequenos segmentos da curva, essencialmente “esticando” a curva em pedacinhos infinitesimais e somando seus comprimentos.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à nossa curva. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t.
Dada a curva:
Calculando as derivadas:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Integrando:

Resposta

O comprimento da curva é pi unidades.

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