Calcule as seguintes integrais: integral-1^1[cos (2 t) i+11+t^2 j+e^-t k] d t

Passo 1

Beleza, então vamos calcular essa integral de vetor que você me mandou: integral-1^1[cos (2 t) i+11+t^2 j+e^-t k] d t. Aqui, estamos lidando com cálculo integral aplicado a cada componente do vetor. Para resolver isso, vamos integrar cada parte separadamente usando as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a componente cos(2t) i. A integral de cos(2t) em relação a t é 12sin(2t). Então, temos:
integral cos(2t) dt = 12sin(2t) + C
Como estamos calculando uma integral definida de -1 a 1, vamos avaliar nos limites:
[12sin(2t)]-1^1 = 12sin(2 cdot 1) - 12sin(2 cdot (-1))

Passo 3

Agora, vamos para a componente 11+t^2 j. A integral de 11+t^2 é a função arctan(t). Assim:
integral 11+t^2 dt = arctan(t) + C
Avaliando de -1 a 1:
[arctan(t)]-1^1 = arctan(1) - arctan(-1)

Passo 4

Por último, vamos integrar e^-t k. A integral de e^-t é -e^-t. Então:
integral e^-t dt = -e^-t + C
Avaliando de -1 a 1:
[-e^-t]-1^1 = -e^-1 - (-e^1) = e^1 - e^-1

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
[12sin(2)i] + [arctan(1) - arctan(-1)]j + [e^1 - e^-1]k
Simplificando os valores:
12sin(2)i + (pi4 - (-pi4))j + (e - 1e)k
Ou seja:
12sin(2)i + pi2j + (e - 1e)k

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