Calcule os comutadores
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o comutador
. Esse problema está na área de álgebra de operadores, que é muito usada em física, especialmente na mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um comutador e como manipular operadores que envolvem derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um comutador. O comutador de dois operadores
e
é definido por:
Nosso objetivo é calcular
, onde
.
Passo 3
Vamos substituir
para deixar tudo mais claro:
Agora, precisamos aplicar a regra do produto para operadores, lembrando que operadores podem não comutar.
Passo 4
Vamos analisar cada termo separadamente. Primeiro,
.
Como
é uma constante em relação a
(já que estamos derivando em relação a
), podemos tratar
como um número. Então:
Passo 5
Agora, o segundo termo:
.
Aqui, precisamos usar a regra do produto para derivadas:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos colocar tudo junto no comutador:
Os termos
se cancelam:
Resposta
O comutador
é igual a
.
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em que
, sendo que:
i. , uma constante;
ii.
iii.
i.
ii.
iii.
Quais das combinações operador/função a seguir fornecem equações de autovalor? Quais são os autovalores das autofunções?