Calcule os comutadores

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o comutador . Esse problema está na área de álgebra de operadores, que é muito usada em física, especialmente na mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um comutador e como manipular operadores que envolvem derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um comutador. O comutador de dois operadores e é definido por:
Nosso objetivo é calcular , onde .

Passo 3

Vamos substituir para deixar tudo mais claro:
Agora, precisamos aplicar a regra do produto para operadores, lembrando que operadores podem não comutar.

Passo 4

Vamos analisar cada termo separadamente. Primeiro, .
Como é uma constante em relação a (já que estamos derivando em relação a ), podemos tratar como um número. Então:

Passo 5

Agora, o segundo termo: .
Aqui, precisamos usar a regra do produto para derivadas:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos colocar tudo junto no comutador:
Os termos se cancelam:

Resposta

O comutador é igual a .

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Calcule os comutadores em que , sendo que:
i. , uma constante;
ii.
iii.
Quais das combinações operador/função a seguir fornecem equações de autovalor? Quais são os autovalores das autofunções?