Calcule os comutadores [x^2(d^2 / d x^2), y(d / d x)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o comutador . Esse problema está na área de álgebra de operadores, que é muito usada em física, especialmente na mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um comutador e como manipular operadores que envolvem derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um comutador. O comutador de dois operadores [A, B] = A B - B A e é definido por:
Nosso objetivo é calcular , onde .

Passo 3

Vamos substituir [x^2 D^2, y D] = x^2 d^2dx^2 cdot y ddx - y ddx cdot x^2 d^2dx^2 para deixar tudo mais claro:
Agora, precisamos aplicar a regra do produto para operadores, lembrando que operadores podem não comutar.

Passo 4

Vamos analisar cada termo separadamente. Primeiro, x^2 d^2dx^2 cdot y ddx = y x^2 d^3dx^3 .
Como é uma constante em relação a (já que estamos derivando em relação a ), podemos tratar como um número. Então:

Passo 5

Agora, o segundo termo: ddx cdot x^2 d^2dx^2 = 2x d^2dx^2 + x^2 d^3dx^3 .
Aqui, precisamos usar a regra do produto para derivadas:
y ddx cdot x^2 d^2dx^2 = y (2x d^2dx^2 + x^2 d^3dx^3)
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos colocar tudo junto no comutador:
[x^2 D^2, y D] = y x^2 D^3 - y (2x D^2 + x^2 D^3) = y x^2 D^3 - 2y x D^2 - y x^2 D^3
Os termos [x^2 D^2, y D] = -2y x D^2 se cancelam:

Resposta

O comutador é igual a .

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