Calcule os comutadores
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o comutador
. Isso pertence à mecânica quântica, especificamente na parte que lida com operadores e comutadores. Pra resolver, vamos precisar lembrar das regras de comutação entre posição e momento, e aplicar essas regras passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o comutador
onde
e
. Usando a propriedade que
, podemos expandir:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada um desses comutadores separadamente. Lembrando que
e que operadores de diferentes coordenadas comutam, ou seja,
e
.
Primeiro,
:
Como
e
comutam, e
e
comutam, esse termo é zero.
Passo 4
Segundo,
:
Novamente,
e
comutam, e
comuta consigo mesmo, então esse termo também é zero.
Passo 5
Terceiro,
:
Aqui,
comuta com tudo, mas
e
comutam, então esse termo é zero.
Passo 6
Por último,
:
Como
e
comutam, mas
e
não comutam. Usando
, já que diferentes componentes de momento também comutam, então esse termo é zero.
Resposta
Somando todos os termos, temos que
.