Calcule os comutadores [x py-y px, y pz-z py]

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o comutador . Isso pertence à mecânica quântica, especificamente na parte que lida com operadores e comutadores. Pra resolver, vamos precisar lembrar das regras de comutação entre posição e momento, e aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o comutador [ x py - y px, y pz - z py ] = [ x py, y pz ] - [ x py, z py ] - [ y px, y pz ] + [ y px, z py ] onde e . Usando a propriedade que , podemos expandir:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada um desses comutadores separadamente. Lembrando que x py y pz - y pz x py = x y py pz - y x pz py e que operadores de diferentes coordenadas comutam, ou seja, e .
Primeiro, :
Como e comutam, e e comutam, esse termo é zero.

Passo 4

Segundo, x py z py - z py x py = x z py py - z x py py :
Novamente, e comutam, e comuta consigo mesmo, então esse termo também é zero.

Passo 5

Terceiro, y px y pz - y pz y px = y y px pz - y y pz px :
Aqui, comuta com tudo, mas e comutam, então esse termo é zero.

Passo 6

Por último, y px z py - z py y px = y z px py - z y py px :
Como e comutam, mas e não comutam. Usando , já que diferentes componentes de momento também comutam, então esse termo é zero.

Resposta

Somando todos os termos, temos que .

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