Calcule os comutadores

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o comutador . Isso pertence à mecânica quântica, especificamente na parte que lida com operadores e comutadores. Pra resolver, vamos precisar lembrar das regras de comutação entre posição e momento, e aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o comutador onde e . Usando a propriedade que , podemos expandir:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada um desses comutadores separadamente. Lembrando que e que operadores de diferentes coordenadas comutam, ou seja, e .
Primeiro, :
Como e comutam, e e comutam, esse termo é zero.

Passo 4

Segundo, :
Novamente, e comutam, e comuta consigo mesmo, então esse termo também é zero.

Passo 5

Terceiro, :
Aqui, comuta com tudo, mas e comutam, então esse termo é zero.

Passo 6

Por último, :
Como e comutam, mas e não comutam. Usando , já que diferentes componentes de momento também comutam, então esse termo é zero.

Resposta

Somando todos os termos, temos que .

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i. , uma constante;
ii.
iii.