Calcule os comutadores
em que
, sendo que:
i.
, uma constante;
ii.
iii.
i.
ii.
iii.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular os comutadores
, onde o Hamiltoniano é dado por
. Nosso objetivo é encontrar
para três diferentes potenciais
. Para isso, vamos precisar entender o que é um comutador e como aplicá-lo na mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o comutador entre dois operadores
e
é definido como
. No nosso caso, queremos calcular
. Vamos dividir
em duas partes: a parte cinética
e o potencial
.
Passo 3
Vamos calcular separadamente os comutadores
e
.
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Na mecânica quântica, a relação de comutação entre a posição
e o momento
é dada por:
Usando essa relação, podemos mostrar que:
Isso significa que precisamos da derivada de
em relação a
para cada caso.
Passo 5
Agora, vamos resolver para cada potencial dado:
i.
, uma constante
Como
é uma constante, a derivada em relação a
é zero:
Portanto:
E, como visto antes,
, então:
ii.
Calculamos a derivada:
Então:
E, como
, temos:
iii.
Assumindo que
, calculamos a derivada:
Portanto:
E, novamente,
, então:
Resposta
i.
ii.
iii.
Exercícios relacionados
Calcule os comutadores
Calcule os comutadores
Quais das combinações operador/função a seguir fornecem equações de autovalor? Quais são os autovalores das autofunções?
Calcule os comutadores
em que
, sendo que:
i. , uma constante;
ii.
iii.
i.
ii.
iii.