Calcule os comutadores [H, px] em que H=px^2 / 2 m+V(x), sendo que:
i. V(x)=V, uma constante;
ii. V(x)=12 k x^2
iii. V(x) V(r)=e^2 / 4 pi epsilon0 r

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular os comutadores [H, px], onde o Hamiltoniano é dado por H = px^22m + V(x). Nosso objetivo é encontrar [H, px] para três diferentes potenciais V(x). Para isso, vamos precisar entender o que é um comutador e como aplicá-lo na mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o comutador entre dois operadores A e B é definido como [A, B] = AB - BA. No nosso caso, queremos calcular [H, px]. Vamos dividir H em duas partes: a parte cinética px^22m e o potencial V(x).

Passo 3

Vamos calcular separadamente os comutadores [px^22m, px] e [V(x), px].
Sabemos que [px^2, px] = pxpx - pxpx = 0, então:
[px^22m, px] = 12m [px^2, px] = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular [V(x), px]. Na mecânica quântica, a relação de comutação entre a posição x e o momento px é dada por:
[x, px] = ihbar
Usando essa relação, podemos mostrar que:
[V(x), px] = -ihbar dVdx
Isso significa que precisamos da derivada de V(x) em relação a x para cada caso.

Passo 5

Agora, vamos resolver para cada potencial dado:

i. V(x) = V, uma constante

Como V é uma constante, a derivada em relação a x é zero:
dVdx = 0
Portanto:
[V(x), px] = -ihbar cdot 0 = 0
E, como visto antes, [px^22m, px] = 0, então:
[H, px] = 0

ii. V(x) = 12 k x^2

Calculamos a derivada:
dVdx = kx
Então:
[V(x), px] = -ihbar kx
E, como [px^22m, px] = 0, temos:
[H, px] = -ihbar kx

iii. V(r) = e^24pi epsilon0 r

Assumindo que r = x, calculamos a derivada:
dVdx = -e^24pi epsilon0 x^2
Portanto:
[V(x), px] = -ihbar (-e^24pi epsilon0 x^2) = ihbar e^24pi epsilon0 x^2
E, novamente, [px^22m, px] = 0, então:
[H, px] = ihbar e^24pi epsilon0 x^2

Resposta

i. [H, px] = 0
ii. [H, px] = -ihbar kx
iii. [H, px] = dfracihbar e^24pi epsilon0 x^2

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