Calcule os comutadores em que , sendo que:
i. , uma constante;
ii.
iii.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular os comutadores , onde o Hamiltoniano é dado por . Nosso objetivo é encontrar para três diferentes potenciais . Para isso, vamos precisar entender o que é um comutador e como aplicá-lo na mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o comutador entre dois operadores e é definido como . No nosso caso, queremos calcular . Vamos dividir em duas partes: a parte cinética e o potencial .

Passo 3

Vamos calcular separadamente os comutadores e .
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Na mecânica quântica, a relação de comutação entre a posição e o momento é dada por:
Usando essa relação, podemos mostrar que:
Isso significa que precisamos da derivada de em relação a para cada caso.

Passo 5

Agora, vamos resolver para cada potencial dado:

i. , uma constante

Como é uma constante, a derivada em relação a é zero:
Portanto:
E, como visto antes, , então:

ii.

Calculamos a derivada:
Então:
E, como , temos:

iii.

Assumindo que , calculamos a derivada:
Portanto:
E, novamente, , então:

Resposta

i.
ii.
iii.

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i. , uma constante;
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