Calcule a cônica representada pela equação x^2+6 x y+y^2-4 x-3 y-2= 0 * *

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão nos está pedindo. Temos a equação e precisamos determinar que tipo de cônica ela representa. Para isso, vamos precisar conhecer sobre as cônicas (elipse, hipérbole, parábola) e como identificar cada uma a partir da equação geral. Além disso, será útil usar o discriminante das cônicas para ajudar na identificação.

Passo 2

Vamos começar identificando os coeficientes da equação geral da segunda grau, que é . Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante De das cônicas, que é dado por . Esse discriminante nos ajuda a identificar o tipo de cônica:
  • Se : Hipérbole
  • Se : Parábola
  • Se : Elipse (ou círculo, se e )
Vamos calcular:
Como , a cônica é uma hipérbole.

Passo 4

Como a equação contém o termo tan(2theta) = BA - C , isso indica que a hipérbole está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, podemos eliminar o termo tan(2theta) = 61 - 1 realizando uma rotação de coordenadas. A fórmula para o ângulo de rotação é:
Substituindo os valores:
Aqui, vemos que o denominador é zero, o que significa que , então .

Passo 5

Com a rotação de x = x'costheta - y'sintheta y = x'sintheta + y'costheta , as novas variáveis e são dadas por:
Como , temos . Substituindo na equação original e simplificando, conseguimos uma equação sem o termo , facilitando a identificação da hipérbole nos novos eixos.

Passo 6

Após simplificar a equação na nova base rotacionada, podemos colocá-la na forma padrão da hipérbole:
x'^2a^2 - y'^2b^2 = 1
Onde e representam as distâncias dos vértices e co-vértices da hipérbole, respectivamente. A partir disso, podemos identificar as principais características da hipérbole, como seus eixos, vértices e assimetrias.

Resposta

A equação representa uma hipérbole rotacionada em relação aos eixos coordenados.

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