Calcule a cônica representada pela equação
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão nos está pedindo. Temos a equação
e precisamos determinar que tipo de cônica ela representa. Para isso, vamos precisar conhecer sobre as cônicas (elipse, hipérbole, parábola) e como identificar cada uma a partir da equação geral. Além disso, será útil usar o discriminante das cônicas para ajudar na identificação.
Passo 2
Vamos começar identificando os coeficientes da equação geral da segunda grau, que é
. Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular o discriminante
das cônicas, que é dado por
. Esse discriminante nos ajuda a identificar o tipo de cônica:
- Se
: Hipérbole - Se
: Parábola - Se
: Elipse (ou círculo, se e )
Vamos calcular:
Como
, a cônica é uma hipérbole.
Passo 4
Como a equação contém o termo
, isso indica que a hipérbole está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, podemos eliminar o termo
realizando uma rotação de coordenadas. A fórmula para o ângulo de rotação
é:
Substituindo os valores:
Aqui, vemos que o denominador é zero, o que significa que
, então
.
Passo 5
Com a rotação de
, as novas variáveis
e
são dadas por:
Como
, temos
. Substituindo na equação original e simplificando, conseguimos uma equação sem o termo
, facilitando a identificação da hipérbole nos novos eixos.
Passo 6
Após simplificar a equação na nova base rotacionada, podemos colocá-la na forma padrão da hipérbole:
Onde
e
representam as distâncias dos vértices e co-vértices da hipérbole, respectivamente. A partir disso, podemos identificar as principais características da hipérbole, como seus eixos, vértices e assimetrias.
Resposta
A equação
representa uma hipérbole rotacionada em relação aos eixos coordenados.