Determine o tipo de cônica para a equação 4 x^2+6 x y+2 y^2-8 x+ 5 y-3=0 * *

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação quadrática:
4x^2 + 6xy + 2y^2 - 8x + 5y - 3 = 0
O objetivo é determinar que tipo de cônica essa equação representa. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as cônicas e como identificar cada tipo usando os coeficientes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral da equação de uma cônica:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
Na nossa equação, os coeficientes são:

Passo 3

Para identificar o tipo de cônica, vamos calcular o discriminante, que é dado por:
De
Esse valor nos ajuda a determinar se a cônica é uma parábola, hipérbole ou elipse.

Passo 4

Vamos calcular o discriminante com os valores que temos:
De
De
De

Passo 5

Agora, vamos interpretar o valor do discriminante:
  • Se , temos uma hipérbole.
  • Se , temos uma parábola.
  • Se , temos uma elipse (ou círculo, se e ).
No nosso caso, , que é maior que zero.

Resposta

A equação dada representa uma hipérbole.

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