Seja V um espaço vetoriais real. Verifique que V e 0 são subespaços de V

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado está nos pedindo para verificar que e são subespaços de . Aqui, é um espaço vetorial real. Para resolver isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: .
  2. Fechado para adição: Se , então .
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se e é um escalar real, então .
Vamos aplicar essas condições para verificar se e são subespaços de .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar .
  1. Contém o vetor zero: Por definição, todo espaço vetorial contém o vetor zero.
  2. Fechado para adição: Se , então também está em porque é um espaço vetorial.
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se e �� real, então .
Como todas as três condições são satisfeitas, é um subespaço de si mesmo.

Passo 4

Agora, vamos verificar .
  1. Contém o vetor zero: Sim, o conjunto contém apenas o vetor zero.
  2. Fechado para adição: Se pegarmos dois vetores em , que são ambos o vetor zero, sua soma é , que ainda está em .
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se multiplicarmos o vetor zero por qualquer escalar real , obtemos , que está em .
Todas as condições são satisfeitas, então também é um subespaço de .

Resposta

Portanto, tanto quanto são subespaços de .

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