Seja
um espaço vetoriais real. Verifique que
e
são subespaços de
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado está nos pedindo para verificar que
e
são subespaços de
. Aqui,
é um espaço vetorial real. Para resolver isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero:
. - Fechado para adição: Se
, então . - Fechado para multiplicação por escalar: Se
e é um escalar real, então .
Vamos aplicar essas condições para verificar se
e
são subespaços de
.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar
.
- Contém o vetor zero: Por definição, todo espaço vetorial contém o vetor zero.
- Fechado para adição: Se
, então também está em porque é um espaço vetorial. - Fechado para multiplicação por escalar: Se
e �� real, então .
Como todas as três condições são satisfeitas,
é um subespaço de si mesmo.
Passo 4
Agora, vamos verificar
.
- Contém o vetor zero: Sim, o conjunto
contém apenas o vetor zero. - Fechado para adição: Se pegarmos dois vetores em
, que são ambos o vetor zero, sua soma é , que ainda está em . - Fechado para multiplicação por escalar: Se multiplicarmos o vetor zero por qualquer escalar real
, obtemos , que está em .
Todas as condições são satisfeitas, então
também é um subespaço de
.
Resposta
Portanto, tanto
quanto
são subespaços de
.