Dada a matriz
A=[rrrr 2 & 3 & 1 & -2 5 & 3 & 1 & 4 0 & 1 & 2 & 2 3 & -1 & -2 & 4 ]
Calcule:
det A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz de ordem 4, e o que precisamos calcular é o determinante dessa matriz, representado por . Determinantes são números que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada e que têm várias aplicações, como resolver sistemas de equações ou verificar se a matriz é inversível. Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, vamos usar a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, mas aqui vamos optar pela expansão por cofatores para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona a expansão por cofatores. Esse método envolve escolher uma linha ou coluna da matriz e calcular uma soma de produtos dos elementos dessa linha ou coluna pelos seus respectivos cofatores. Os cofatores são calculados a partir de menores, que são determinantes de matrizes menores formadas pela remoção da linha e coluna do elemento em questão.

Passo 3

Vamos escolher a primeira linha da nossa matriz para facilitar os cálculos. A primeira linha é: . Agora, para cada elemento dessa linha, vamos encontrar o cofator correspondente.

Passo 4

Vamos calcular os cofatores para cada elemento da primeira linha.
  1. Para o elemento 3 & 1 & 4 1 & 2 & 2 -1 & -2 & 4 :
    • Menor: Retiramos a primeira linha e a primeira coluna, ficando com a matriz: det = 3(2 cdot 4 - 2 cdot (-2)) - 1(1 cdot 4 - 2 cdot (-1)) + 4(1 cdot (-2) - 2 cdot (-1)) = 3(8 + 4) - 1(4 + 2) + 4(-2 + 2) = 3 cdot 12 - 1 cdot 6 + 4 cdot 0 = 36 - 6 + 0 = 30
    • Determinante desse menor: 5 & 1 & 4 0 & 2 & 2 3 & -2 & 4
    • Cofator: det = 5(2 cdot 4 - 2 cdot (-2)) - 1(0 cdot 4 - 2 cdot 3) + 4(0 cdot (-2) - 2 cdot 3) = 5(8 + 4) - 1(0 - 6) + 4(0 - 6) = 5 cdot 12 + 6 + (-24) = 60 + 6 - 24 = 42
  2. Para o elemento 5 & 3 & 4 0 & 1 & 2 3 & -1 & 4 :
    • Menor: Retiramos a primeira linha e a segunda coluna, ficando com a matriz: det = 5(1 cdot 4 - 2 cdot (-1)) - 3(0 cdot 4 - 2 cdot 3) + 4(0 cdot (-1) - 1 cdot 3) = 5(4 + 2) - 3(0 - 6) + 4(0 - 3) = 5 cdot 6 + 18 + (-12) = 30 + 18 - 12 = 36
    • Determinante desse menor: 5 & 3 & 1 0 & 1 & 2 3 & -1 & -2
    • Cofator: det = 5(1 cdot (-2) - 2 cdot (-1)) - 3(0 cdot (-2) - 2 cdot 3) + 1(0 cdot (-1) - 1 cdot 3) = 5(-2 + 2) - 3(0 - 6) + 1(0 - 3) = 5 cdot 0 + 18 + (-3) = 0 + 18 - 3 = 15
  3. Para o elemento :
    • Menor: Retiramos a primeira linha e a terceira coluna, ficando com a matriz:
    • Determinante desse menor:
    • Cofator:
  4. Para o elemento :
    • Menor: Retiramos a primeira linha e a quarta coluna, ficando com a matriz:
    • Determinante desse menor:
    • Cofator:

Passo 5

Agora que temos os cofatores, vamos aplicar a fórmula da expansão por cofatores na primeira linha:
det A = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14 = 2 cdot 30 + 3 cdot (-42) + 1 cdot (-36) + (-2) cdot 15

Passo 6

Vamos calcular cada termo:
2 cdot 30 = 60
3 cdot (-42) = -126
1 cdot (-36) = -36
(-2) cdot 15 = -30

Passo 7

Somando todos os valores:
60 - 126 - 36 - 30 = 60 - 126 = -66
-66 - 36 = -102
-102 - 30 = -132

Resposta

det A = -132

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