Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz de ordem 4, e o que precisamos calcular é o determinante dessa matriz, representado por . Determinantes são números que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada e que têm várias aplicações, como resolver sistemas de equações ou verificar se a matriz é inversível. Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, vamos usar a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, mas aqui vamos optar pela expansão por cofatores para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona a expansão por cofatores. Esse método envolve escolher uma linha ou coluna da matriz e calcular uma soma de produtos dos elementos dessa linha ou coluna pelos seus respectivos cofatores. Os cofatores são calculados a partir de menores, que são determinantes de matrizes menores formadas pela remoção da linha e coluna do elemento em questão.
Passo 3
Vamos escolher a primeira linha da nossa matriz para facilitar os cálculos. A primeira linha é: . Agora, para cada elemento dessa linha, vamos encontrar o cofator correspondente.
Passo 4
Vamos calcular os cofatores para cada elemento da primeira linha.
Para o elemento 3 & 1 & 4 1 & 2 & 2 -1 & -2 & 4 :
Menor: Retiramos a primeira linha e a primeira coluna, ficando com a matriz: det = 3(2 cdot 4 - 2 cdot (-2)) - 1(1 cdot 4 - 2 cdot (-1)) + 4(1 cdot (-2) - 2 cdot (-1)) = 3(8 + 4) - 1(4 + 2) + 4(-2 + 2) = 3 cdot 12 - 1 cdot 6 + 4 cdot 0 = 36 - 6 + 0 = 30