Calcule a constante A para que a função abaixo seja contínua:
f(x) = { sen(1/x) * raiz(-x) + x se x < 0, cos(x) - A se x ≥ 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor da constante para que a função seja contínua. A função está definida de forma diferente para quando e . Vamos precisar usar o conceito de limite e continuidade.

Passo 2

Primeiro, para a função ser contínua em , o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 0 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Quando , se aproxima de 0 positivo, então também se aproxima de 0. Sabemos que oscila entre -1 e 1, mas multiplicando por , o termo todo vai para 0. Além disso, também vai para 0. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
Quando , se aproxima de . Então:

Passo 5

Para a função ser contínua em , esses dois limites devem ser iguais:

Passo 6

Resolvendo a equação para :

Resposta

A constante deve ser igual a 1 para que a função seja contínua.

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