Esboce os gráficos das funções abaixo seguindo o seguinte roteiro:
1- Determine o domínio da função;
2 - Determine os seus pontos críticos;
3- Faça o estudo do sinal da derivada primeira;
4- Faça o estudo da derivada segunda;
5- Determine máximos, mínimos, absolutos ou relativos conforme o caso;
6 - Verifique se existem pontos de inflexão;
7 - Faça o estudo dos limites para
e para uma vizinhança dos pontos de descontinuidades conforme o caso;
8- Esboce o gráfico da função.
1- Determine o domínio da função;
2 - Determine os seus pontos críticos;
3- Faça o estudo do sinal da derivada primeira;
4- Faça o estudo da derivada segunda;
5- Determine máximos, mínimos, absolutos ou relativos conforme o caso;
6 - Verifique se existem pontos de inflexão;
7 - Faça o estudo dos limites para
8- Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A função que vamos analisar é
. Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa função seguindo um roteiro de 8 passos. Para isso, vamos usar conceitos de domínio, derivadas primeira e segunda, pontos críticos, máximos e mínimos, pontos de inflexão, e limites. Pronto para embarcar nessa?
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Na nossa função
, o expoente
precisa estar definido.
Sabemos que a divisão por zero não é permitida, então
não pode ser igual a zero. Portanto, o domínio da função é todos os números reais diferentes de zero.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde a derivada primeira da função é zero ou não está definida. Então, vamos calcular a derivada primeira de
.
A derivada de
em relação a
é
, onde
.
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver
ou encontrar onde
não está definida.
Como
nunca é zero, a única possibilidade seria
, o que nunca ocorre. Portanto, a derivada primeira nunca é zero. No entanto,
não está definida em
, mas já excluímos esse ponto no domínio. Então, a função não possui pontos críticos.
Passo 4
Vamos fazer o estudo do sinal da derivada primeira. Isso nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada primeira é:
Sabemos que
para todo
, e
também para todo
. Portanto, o sinal de
depende apenas do coeficiente:
Então, a derivada primeira é sempre negativa para todo
no domínio, o que significa que a função está sempre decrescendo.
Passo 5
Agora, vamos estudar a derivada segunda da função. A derivada segunda nos dá informações sobre a concavidade do gráfico e possíveis pontos de inflexão.
Vamos derivar
:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 6
Vamos determinar os máximos e mínimos da função. Como vimos que a derivada primeira nunca é zero e é sempre negativa, a função não possui máximos ou mínimos locais. Ela está sempre decrescendo em todo o seu domínio.
Passo 7
Vamos verificar se existem pontos de inflexão. Ponto de inflexão ocorre onde a concavidade do gráfico muda, ou seja, quando a derivada segunda muda de sinal.
Analisando
:
-
Para
: -
-
se , mas como , sempre positivo. - Então,
, função côncava para cima.
-
-
Para
: -
-
: - Se
, - Se
,
- Se
- Assim:
- Para
, (côncava para baixo) - Para
, (côncava para cima)
- Para
-
Portanto, há um ponto de inflexão em
.
Passo 8
Finalmente, vamos fazer o estudo dos limites:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Resposta
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico de
. A função está sempre decrescendo, possui uma assíntota horizontal em
quando
tende a
, cresce para
quando
se aproxima de zero pela direita e se aproxima de zero quando
se aproxima de zero pela esquerda. Há um ponto de inflexão em
, onde a concavidade muda de côncava para baixo para côncava para cima.