Esboce os gráficos das funções abaixo seguindo o seguinte roteiro:
1- Determine o domínio da função;
2 - Determine os seus pontos críticos;
3- Faça o estudo do sinal da derivada primeira;
4- Faça o estudo da derivada segunda;
5- Determine máximos, mínimos, absolutos ou relativos conforme o caso;
6 - Verifique se existem pontos de inflexão;
7 - Faça o estudo dos limites para e para uma vizinhança dos pontos de descontinuidades conforme o caso;
8- Esboce o gráfico da função.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A função que vamos analisar é . Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa função seguindo um roteiro de 8 passos. Para isso, vamos usar conceitos de domínio, derivadas primeira e segunda, pontos críticos, máximos e mínimos, pontos de inflexão, e limites. Pronto para embarcar nessa?

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Na nossa função , o expoente precisa estar definido.
Sabemos que a divisão por zero não é permitida, então não pode ser igual a zero. Portanto, o domínio da função é todos os números reais diferentes de zero.
í

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde a derivada primeira da função é zero ou não está definida. Então, vamos calcular a derivada primeira de .
A derivada de em relação a é , onde .
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver ou encontrar onde não está definida.
Como nunca é zero, a única possibilidade seria , o que nunca ocorre. Portanto, a derivada primeira nunca é zero. No entanto, não está definida em , mas já excluímos esse ponto no domínio. Então, a função não possui pontos críticos.

Passo 4

Vamos fazer o estudo do sinal da derivada primeira. Isso nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada primeira é:
Sabemos que para todo , e também para todo . Portanto, o sinal de depende apenas do coeficiente:
Então, a derivada primeira é sempre negativa para todo no domínio, o que significa que a função está sempre decrescendo.

Passo 5

Agora, vamos estudar a derivada segunda da função. A derivada segunda nos dá informações sobre a concavidade do gráfico e possíveis pontos de inflexão.
Vamos derivar :
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 6

Vamos determinar os máximos e mínimos da função. Como vimos que a derivada primeira nunca é zero e é sempre negativa, a função não possui máximos ou mínimos locais. Ela está sempre decrescendo em todo o seu domínio.

Passo 7

Vamos verificar se existem pontos de inflexão. Ponto de inflexão ocorre onde a concavidade do gráfico muda, ou seja, quando a derivada segunda muda de sinal.
Analisando :
  • Para :
    • se , mas como , sempre positivo.
    • Então, , função côncava para cima.
  • Para :
    • :
      • Se ,
      • Se ,
    • Assim:
      • Para , (côncava para baixo)
      • Para , (côncava para cima)
Portanto, há um ponto de inflexão em .

Passo 8

Finalmente, vamos fazer o estudo dos limites:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico de . A função está sempre decrescendo, possui uma assíntota horizontal em quando tende a , cresce para quando se aproxima de zero pela direita e se aproxima de zero quando se aproxima de zero pela esquerda. Há um ponto de inflexão em , onde a concavidade muda de côncava para baixo para côncava para cima.

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