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O índice de sensação térmica W é a temperatura sentida quando a temperatura real é T e a velocidade do vento, v. Portanto, podemos escrever W = f(T, v). A tabela de valores a seguir foi extraída da Tabela 1 da Seção 14.1. Velocidade do vento km/h | Tv | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | | -10 | -18 | -20 | -21 | -22 | -23 | -23 | | -15 | -24 | -26 | -27 | -29 | -30 | -30 | | -20 | -30 | -33 | -34 | -35 | -36 | -37 | | -25 | -37 | -39 | -41 | -42 | -43 | -44 | Estime os valores de f_T(-15,30) e f_v(-15, 30). Quais são as interpretações práticas desses valores?

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício sobre sensação térmica, que é como a gente “sente” a temperatura levando em conta também a velocidade do vento. A função relaciona a sensação térmica com a temperatura real e a velocidade do vento . A tabela que a gente tem dá valores de para diferentes combinações de e . A gente precisa estimar as derivadas parciais e , que vão nos dizer como a sensação térmica muda quando a temperatura ou a velocidade do vento variam um pouquinho perto do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas derivadas parciais. A derivada parcial em nos mostra como a sensação térmica muda se aumentarmos a temperatura, mantendo a velocidade do vento constante em 30 km/h. Já a derivada parcial nos mostra como muda se aumentarmos a velocidade do vento, mantendo a temperatura constante em -15°C.

Passo 3

Vamos começar calculando . Para isso, vamos observar como varia quando muda em torno de -15°C, mantendo km/h. Olhando na tabela:
  • Quando e ,
  • Quando e ,
  • Quando e ,

Passo 4

Para estimar a derivada parcial em , podemos usar a fórmula da diferença central:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Vamos ver como varia quando aumentamos em torno de 30 km/h, mantendo . Na tabela:
  • Quando km/h,
  • Quando km/h,
  • Quando km/h,
  • Quando km/h,

Passo 6

Para estimar a derivada parcial em , usamos também a diferença central:

Resposta

As derivadas parciais estimadas são e . Isso significa que, perto de , se a temperatura aumentar em 1°C, a sensação térmica aumenta em aproximadamente 1,3 unidades, mantendo a velocidade do vento em 30 km/h. Por outro lado, se a velocidade do vento aumentar em 1 km/h, a sensação térmica diminui em cerca de 0,15 unidades, mantendo a temperatura constante em -15°C.

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