Verifique que a função u = e^(-alpha^2 k^2 t) sen(k x) é solução da equação de condução do calor u_t = alpha^2 u_xx.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a função é solução da equação de condução do calor, que é . Isso envolve entender derivadas parciais em relação ao tempo e ao espaço. Vamos precisar calcular a derivada de em relação a e depois a derivada segunda em relação a para comparar com a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação ao tempo , ou seja, . A função é dada por:
A derivada de em relação a é:
Portanto, a derivada parcial é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Começamos pela primeira derivada de em relação a :
Então, a primeira derivada é:
Agora, calculamos a segunda derivada :
Portanto:

Passo 4

Agora vamos comparar com :
Percebemos que:

Resposta

A função satisfaz a equação de condução do calor , portanto, é uma solução da equação.

Exercícios relacionados