Verifique que a função
é solução da equação de condução do calor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a função
é solução da equação de condução do calor, que é
. Isso envolve entender derivadas parciais em relação ao tempo e ao espaço. Vamos precisar calcular a derivada de
em relação a
e depois a derivada segunda em relação a
para comparar com a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação ao tempo
, ou seja,
. A função
é dada por:
A derivada de
em relação a
é:
Portanto, a derivada parcial
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Começamos pela primeira derivada de
em relação a
:
Então, a primeira derivada
é:
Agora, calculamos a segunda derivada
:
Portanto:
Passo 4
Agora vamos comparar
com
:
Percebemos que:
Resposta
A função
satisfaz a equação de condução do calor
, portanto, é uma solução da equação.
Exercícios relacionados
Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é,
.
57.
58.
59.
60.
57.
58.
59.
60.
Use a derivação implícita para determinar
e
.
45.
46.
47.
48.
45.
46.
47.
48.
Calcule a constante A para que a função abaixo seja contínua:
a
O índice de sensação térmica é a temperatura sentida quando a temperatura real é
e a velocidade do vento,
. Portanto, podemos escrever
. A tabela de valores a seguir foi extraída da Tabela 1 da Seção 14.1. Velocidade do vento
|
| 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | | -10 | -18 | -20 | -21 | -22 | -23 | -23 | | -15 | -24 | -26 | -27 | -29 | -30 | -30 | | -20 | -30 | -33 | -34 | -35 | -36 | -37 | | -25 | -37 | -39 | -41 | -42 | -43 | -44 | Estime os valores
e
. Quais são as interpretações práticas desses valores?
O índice de sensação térmica