Verifique que a função é solução da equação de condução do calor .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a função é solução da equação de condução do calor, que é . Isso envolve entender derivadas parciais em relação ao tempo e ao espaço. Vamos precisar calcular a derivada de em relação a e depois a derivada segunda em relação a para comparar com a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação ao tempo , ou seja, . A função é dada por:
A derivada de em relação a é:
Portanto, a derivada parcial é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Começamos pela primeira derivada de em relação a :
Então, a primeira derivada é:
Agora, calculamos a segunda derivada :
Portanto:

Passo 4

Agora vamos comparar com :
Percebemos que:

Resposta

A função satisfaz a equação de condução do calor , portanto, é uma solução da equação.

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Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, .
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59.
60.
Use a derivação implícita para determinar e .
45.
46.
47.
48.
Calcule a constante A para que a função abaixo seja contínua:
a
O índice de sensação térmica é a temperatura sentida quando a temperatura real é e a velocidade do vento, . Portanto, podemos escrever . A tabela de valores a seguir foi extraída da Tabela 1 da Seção 14.1. Velocidade do vento | | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | | -10 | -18 | -20 | -21 | -22 | -23 | -23 | | -15 | -24 | -26 | -27 | -29 | -30 | -30 | | -20 | -30 | -33 | -34 | -35 | -36 | -37 | | -25 | -37 | -39 | -41 | -42 | -43 | -44 | Estime os valores e . Quais são as interpretações práticas desses valores?