Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, .
57.
58.
59.
60.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a conclusão do Teorema de Clairaut vale para quatro funções diferentes. Ou seja, vamos checar se, para cada função , as segundas derivadas misturadas e são iguais. Isso envolve calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem e comparar os resultados. Vamos analisar cada função uma por uma!

Passo 2

Função 57:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
  1. Derivada parcial de em relação a ( ):
  2. Derivada parcial de em relação a ( ):
Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem.
  1. Derivada :
  2. Derivada :
Observamos que .

Passo 3

Função 58:
Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial de em relação a ( ):
  2. Derivada parcial de em relação a ( ):
Agora, as derivadas de segunda ordem:
  1. Derivada :
  2. Derivada :
Aqui também, .

Passo 4

Função 59:
Simplificando a função:
Vamos às derivadas:
  1. Derivada parcial de em relação a ( ):
  2. Derivada parcial de em relação a ( ):
Agora, as derivadas de segunda ordem:
  1. Derivada :
  2. Derivada :
Novamente, .

Passo 5

Função 60:
Calculando as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial de em relação a ( ):
  2. Derivada parcial de em relação a ( ):
Agora, as derivadas de segunda ordem:
  1. Derivada :
  2. Derivada :
Mais uma vez, .

Resposta

Todas as quatro funções verificam que , confirmando a validade do Teorema de Clairaut para cada uma delas.

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Use a derivação implícita para determinar e .
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Verifique que a função é solução da equação de condução do calor .
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