Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, u_xy = u_yx.
57. u = x * sen(x + 2 * y)
58. u = x^4 * y^2 - 2 * x * y^5
59. u = ln(raiz(x^2 + y^2))
60. u = x * y * e^y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a conclusão do Teorema de Clairaut vale para quatro funções diferentes. Ou seja, vamos checar se, para cada função , as segundas derivadas misturadas e são iguais. Isso envolve calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem e comparar os resultados. Vamos analisar cada função uma por uma!

Passo 2

Função 57:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
  1. Derivada parcial de em relação a ( ):
  2. Derivada parcial de em relação a ( ):
Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem.
  1. Derivada :
  2. Derivada :
Observamos que .

Passo 3

Função 58:
Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial de em relação a ( ):
  2. Derivada parcial de em relação a ( ):
Agora, as derivadas de segunda ordem:
  1. Derivada :
  2. Derivada :
Aqui também, .

Passo 4

Função 59:
Simplificando a função:
Vamos às derivadas:
  1. Derivada parcial de em relação a ( ):
  2. Derivada parcial de em relação a ( ):
Agora, as derivadas de segunda ordem:
  1. Derivada :
  2. Derivada :
Novamente, .

Passo 5

Função 60:
Calculando as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial de em relação a ( ):
  2. Derivada parcial de em relação a ( ):
Agora, as derivadas de segunda ordem:
  1. Derivada :
  2. Derivada :
Mais uma vez, .

Resposta

Todas as quatro funções verificam que , confirmando a validade do Teorema de Clairaut para cada uma delas.

Exercícios relacionados