Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é,
.
57.
58.
59.
60.
57.
58.
59.
60.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a conclusão do Teorema de Clairaut vale para quatro funções diferentes. Ou seja, vamos checar se, para cada função
, as segundas derivadas misturadas
e
são iguais. Isso envolve calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem e comparar os resultados. Vamos analisar cada função uma por uma!
Passo 2
Função 57:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
-
Derivada parcial de
em relação a ( ): -
Derivada parcial de
em relação a ( ):
Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem.
-
Derivada
: -
Derivada
:
Observamos que
.
Passo 3
Função 58:
Vamos calcular as derivadas parciais:
-
Derivada parcial de
em relação a ( ): -
Derivada parcial de
em relação a ( ):
Agora, as derivadas de segunda ordem:
-
Derivada
: -
Derivada
:
Aqui também,
.
Passo 4
Função 59:
Simplificando a função:
Vamos às derivadas:
-
Derivada parcial de
em relação a ( ): -
Derivada parcial de
em relação a ( ):
Agora, as derivadas de segunda ordem:
-
Derivada
: -
Derivada
:
Novamente,
.
Passo 5
Função 60:
Calculando as derivadas parciais:
-
Derivada parcial de
em relação a ( ): -
Derivada parcial de
em relação a ( ):
Agora, as derivadas de segunda ordem:
-
Derivada
: -
Derivada
:
Mais uma vez,
.
Resposta
Todas as quatro funções verificam que
, confirmando a validade do Teorema de Clairaut para cada uma delas.
Exercícios relacionados
Use a derivação implícita para determinar
e
.
45.
46.
47.
48.
45.
46.
47.
48.
(2,0 pts) Seja E o sólido limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
,
e
. Calcule
.
Verifique que a função
é solução da equação de condução do calor
.
Calcule a constante A para que a função abaixo seja contínua: