Calcule a constante A para que a função abaixo seja contínua:
f(x) = { sen(1/x) * raiz(-x) + x se x < 0, cos(x) - A se x ≥ 0 }

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Cálculo, especificamente sobre continuidade de funções. A questão pede para calcular a constante de modo que a função seja contínua no ponto onde a definição dela muda, que é em . Para isso, precisamos entender o comportamento da função em torno de e garantir que não haja “saltos” na função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função em . Ou seja:
No nosso caso, queremos que seja contínua em , então:

Passo 3

A função é definida de forma diferente para e para . Precisamos analisar o limite pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
Para :
Para :

Passo 4

Vamos calcular o limite pela esquerda ( ):
Sabemos que oscila entre -1 e 1. Então, estará entre e . Como tende a 0 quando , o termo também tende a 0. Além disso, tende a 0. Portanto:

Passo 5

Agora, calculamos o limite pela direita ( ):
Sabemos que , então:

Passo 6

Para a função ser contínua em , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais ao valor da função em . Assim:
Substituindo os valores encontrados:

Passo 7

Resolvendo a equação para encontrar :

Resposta

A constante que torna a função contínua em é .

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