Calcule a constante A para que a função abaixo seja contínua:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Cálculo, especificamente sobre continuidade de funções. A questão pede para calcular a constante
de modo que a função
seja contínua no ponto onde a definição dela muda, que é em
. Para isso, precisamos entender o comportamento da função em torno de
e garantir que não haja “saltos” na função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função em
. Ou seja:
No nosso caso, queremos que
seja contínua em
, então:
Passo 3
A função
é definida de forma diferente para
e para
. Precisamos analisar o limite pela esquerda (
) e pela direita (
).
Para
:
Para
:
Passo 4
Vamos calcular o limite pela esquerda (
):
Sabemos que
oscila entre -1 e 1. Então,
estará entre
e
. Como
tende a 0 quando
, o termo
também tende a 0. Além disso,
tende a 0. Portanto:
Passo 5
Agora, calculamos o limite pela direita (
):
Sabemos que
, então:
Passo 6
Para a função ser contínua em
, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais ao valor da função em
. Assim:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 7
Resolvendo a equação para encontrar
:
Resposta
A constante
que torna a função contínua em
é
.