Seja:
f(x)= raiz-x & se x<0 3-x & se 0 <= x<3 (x-3)^2 & se x>3
Calcule cada limite, se ele existir:
  1. lim x 0^+ f(x)
  2. lim x 0^- f(x)
  3. lim x 0 f(x)
  4. lim x 3^- f(x)
  5. lim x 3^+ f(x)
  6. lim x 3 f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes, chamada de função por partes. Ela é assim:
f(x)= raiz-x & se x<0 3-x & se 0 <= x<3 (x-3)^2 & se x>3
A nossa missão é calcular alguns limites dessa função em pontos específicos, se eles existirem. Vamos precisar entender como a função se comporta em cada intervalo e usar conceitos básicos de limites laterais (direito e esquerdo) para resolver.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite:
limx to 0^+ f(x)
Isso significa que estamos querendo saber o que a função f(x) se aproxima quando x se aproxima de 0 por valores maiores que 0 (do lado direito).
Na função por partes, para f(0) = 3 - 0 = 3 , limx to 0^+ f(x) = 3.
Então, substituindo x por 0:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular:
limx to 0^- f(x)
Aqui, queremos saber o que acontece com f(x) quando x se aproxima de 0 por valores menores que 0 (do lado esquerdo).
Para f(0) = raiz-0 = raiz0 = 0 , a função é limx to 0^- f(x) = 0.
Vamos substituir x por 0:
Então,

Passo 4

Vamos agora para o limite quando limx to 0 f(x) se aproxima de 0 sem especificar o lado:
Para esse limite existir, os limites laterais (direito e esquerdo) precisam ser iguais. No Passo 2 vimos que e no Passo 3, .
Como 3 ≠ 0, o limite geral não existe.

Passo 5

Seguimos para:
limx to 3^- f(x)
Esse é o limite quando x se aproxima de 3 por valores menores que 3 (lado esquerdo).
Para f(3^-) = 3 - 3 = 0 , limx to 3^- f(x) = 0.
Substituindo x por 3:
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular:
limx to 3^+ f(x)
Aqui, queremos saber o que acontece com f(x) quando x se aproxima de 3 por valores maiores que 3 (lado direito).
Para f(3^+) = (3 - 3)^2 = 0^2 = 0 , a função é limx to 3^+ f(x) = 0.
Substituindo x por 3:
Portanto,

Passo 7

Finalmente, vamos ver o limite quando limx to 3 f(x) se aproxima de 3 sem especificar o lado:
Para que esse limite exista, os limites laterais devem ser iguais. No Passo 5 vimos que e no Passo 6, .
Como ambos os limites laterais são iguais a 0, o limite geral existe e é igual a 0.

Resposta

  1. não existe.

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