Calcule a convolução f * g para f, g: R -> R dadas por
(b) f(x) = chi[-1,1](x) = { 1, se -1 < x < 1; 0, caso contrário }á,
g(x) = e^(-x) u0(x) = { e^(-x), se x > 0 ; 0, caso contrário }á

Passo 1

Vamos calcular a convolução das funções dadas:
á
á
Vamos usar o conceito de convolução e integrar as funções considerando onde elas são não nulas.

Passo 2

A convolução é definida por:
Como é diferente de zero apenas no intervalo e é diferente de zero quando (ou seja, ), os limites da integral se restringem a onde ambas as funções são não nulas.

Passo 3

Vamos analisar os limites de integração dependendo do valor de :
  • Caso 1:
    Aqui, deveria ser menor que e maior ou igual a , o que não é possível porque . Portanto:
  • Caso 2:
    Neste intervalo, varia de a :
  • Caso 3:
    Aqui, varia de a :

Passo 4

Vamos calcular as integrais para cada caso:
  • Caso 2 ( ):
  • Caso 3 ( ):

Resposta

A convolução é dada por:

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