Resolva o problema de valor inicial
l partial upartial t=alpha^2 partial^2 upartial x^2-gamma u u(x, 0)=f(x), x in R
Aqui gamma é uma constante positiva.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O exercício pede para resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial parcial. A equação dada é:
partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2 - gamma u
com a condição inicial para todo real. A constante é positiva. O conteúdo principal aqui é resolver essa equação que mistura a equação do calor (ou difusão) com um termo de decaimento exponencial devido a .
Para resolver, vamos precisar usar técnicas de solução de equações diferenciais parciais lineares com coeficientes constantes, como a transformada de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação. Temos:
partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2 - gamma u
Isso pode ser reescrito como:
partial upartial t + gamma u = alpha^2 partial^2 upartial x^2
Identificamos aqui uma equação de difusão com um termo de decaimento . Esse termo faz com que a quantidade diminua ao longo do tempo, além da difusão padrão.

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Fourier para resolver essa equação. A transformada de Fourier de uma função u(k,t) = integral-infty^infty u(x,t) e^-ikx dx é definida como:
partial upartial t = -alpha^2 k^2 u - gamma u
Aplicando a transformada de Fourier em ambos os lados da equação diferencial:
Isso simplifica a equação para uma equação diferencial ordinária em termos de .

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial ordinária:
partial upartial t + (alpha^2 k^2 + gamma) u = 0
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o método de separação de variáveis. A solução geral é:
u(k,t) = u(k,0) e^-(alpha^2 k^2 + gamma) t
Sabemos que u(k,0) = f(k) = integral-infty^infty f(x) e^-ikx dx é a transformada de Fourier da condição inicial , ou seja:

Passo 5

Substituindo de volta, temos:
u(k,t) = f(k) e^-(alpha^2 k^2 + gamma) t
Para encontrar u(x,t) = 12pi integral-infty^infty u(k,t) e^ikx dk = 12pi integral-infty^infty f(k) e^-(alpha^2 k^2 + gamma) t e^ikx dk , precisamos aplicar a transformada inversa de Fourier:

Passo 6

Reconhecemos que a expressão u(x,t) = e^-gamma t cdot 12pi integral-infty^infty f(k) e^-alpha^2 k^2 t e^ikx dk é a transformada de Fourier da função de calor (ou kernel de difusão). Além disso, o termo pode ser fatorado para fora da integral, pois não depende de :

Passo 7

Usando a propriedade da transformada de Fourier que a transformada da derivada segunda é multiplicação por u(x,t) = e^-gamma t cdot integral-infty^infty f(y) 12alpha raizpi t e^-(x - y)^24alpha^2 t dy , e a inversa envolvendo convolução com a função de calor, concluímos que a solução geral é:
Isso significa que a solução é a convolução da condição inicial com a função de calor, multiplicada pelo fator de decaimento .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é dada por:
u(x,t) = e^-gamma t integral-infty^infty f(y) cdot 12alpha raizpi t exp( -(x - y)^24alpha^2 t ) dy

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