Resolva o problema de valor inicial
Aqui
é uma constante positiva.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O exercício pede para resolver um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial parcial. A equação dada é:
com a condição inicial
para todo
real. A constante
é positiva. O conteúdo principal aqui é resolver essa equação que mistura a equação do calor (ou difusão) com um termo de decaimento exponencial devido a
.
Para resolver, vamos precisar usar técnicas de solução de equações diferenciais parciais lineares com coeficientes constantes, como a transformada de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação. Temos:
Isso pode ser reescrito como:
Identificamos aqui uma equação de difusão com um termo de decaimento
. Esse termo faz com que a quantidade
diminua ao longo do tempo, além da difusão padrão.
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Fourier para resolver essa equação. A transformada de Fourier de uma função
é definida como:
Aplicando a transformada de Fourier em ambos os lados da equação diferencial:
Isso simplifica a equação para uma equação diferencial ordinária em termos de
.
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial ordinária:
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o método de separação de variáveis. A solução geral é:
Sabemos que
é a transformada de Fourier da condição inicial
, ou seja:
Passo 5
Substituindo de volta, temos:
Para encontrar
, precisamos aplicar a transformada inversa de Fourier:
Passo 6
Reconhecemos que a expressão
é a transformada de Fourier da função de calor (ou kernel de difusão). Além disso, o termo
pode ser fatorado para fora da integral, pois não depende de
:
Passo 7
Usando a propriedade da transformada de Fourier que a transformada da derivada segunda é multiplicação por
, e a inversa envolvendo convolução com a função de calor, concluímos que a solução geral é:
Isso significa que a solução
é a convolução da condição inicial
com a função de calor, multiplicada pelo fator de decaimento
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é dada por: