Determine, usando convolução, as funções
cujas transformadas de Fourier são dadas
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.
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Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para determinar as funções
cuja transformada de Fourier é dada por
E a gente vai fazer isso usando convolução. Vamos precisar entender um pouco sobre transformadas de Fourier e convolução para resolver isso. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão da transformada de Fourier para facilitar o trabalho:
Nosso objetivo é encontrar
. Para isso, vamos simplificar o denominador para identificar funções conhecidas cuja transformada de Fourier conhecemos.
Passo 3
Vamos completar o quadrado no denominador para facilitar a identificação:
Vamos reescrever isso como:
Então, temos:
Passo 4
Agora, reconhecemos que a forma
está relacionada à transformada de Fourier de funções exponenciais multiplicadas por senos ou cossenos. Mas para usar a convolução, vamos tentar decompor a fração em termos de funções cuja transformada de Fourier já conhecemos.
Vamos reescrever
da seguinte forma:
Isso se assemelha à transformada de Fourier de uma função exponencializada multiplicada por uma função trigonométrica.
Passo 5
Sabemos que a transformada de Fourier de
ou
resulta em funções racionais semelhantes à que temos. Mas para usar a convolução, vamos identificar duas funções cujas convolução resulte na
.
Vamos decompor
em frações parciais ou identificar componentes que podem ser convoluídos.
Passo 6
Observando a expressão, podemos notar que:
Isso sugere que podemos decompor em frações parciais. Contudo, para simplificar usando convolução, vamos reconhecer que a transformada de Fourier de uma convolução de duas funções é o produto das suas transformadas de Fourier.
Portanto, se
, então
, onde
denota convolução.
Passo 7
Vamos escolher
e
Portanto, a convolução será:
Passo 8
Agora, vamos encontrar
e
a partir das suas transformadas de Fourier. Usando a tabela de transformadas de Fourier, sabemos que:
onde
é a função degrau de Heaviside.
Aplicando isso, temos:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos realizar a convolução
. A convolução de duas funções
e
é dada por:
Substituindo
e
:
Isso resulta em termos exponenciais que podem ser integrados facilmente.
Passo 10
Integrando os termos, obtemos:
Simplificando:
Resposta
A função
é dada por
onde
é a função degrau de Heaviside.