Determine, usando convolução, as funções f: R -> C cujas transformadas de Fourier são dadas
© f(omega) = 1/(4 - omega^2 + 2i * omega).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para determinar as funções cuja transformada de Fourier é dada por
E a gente vai fazer isso usando convolução. Vamos precisar entender um pouco sobre transformadas de Fourier e convolução para resolver isso. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão da transformada de Fourier para facilitar o trabalho:
Nosso objetivo é encontrar . Para isso, vamos simplificar o denominador para identificar funções conhecidas cuja transformada de Fourier conhecemos.

Passo 3

Vamos completar o quadrado no denominador para facilitar a identificação:
Vamos reescrever isso como:
Então, temos:

Passo 4

Agora, reconhecemos que a forma está relacionada à transformada de Fourier de funções exponenciais multiplicadas por senos ou cossenos. Mas para usar a convolução, vamos tentar decompor a fração em termos de funções cuja transformada de Fourier já conhecemos.
Vamos reescrever da seguinte forma:
Isso se assemelha à transformada de Fourier de uma função exponencializada multiplicada por uma função trigonométrica.

Passo 5

Sabemos que a transformada de Fourier de ou resulta em funções racionais semelhantes à que temos. Mas para usar a convolução, vamos identificar duas funções cujas convolução resulte na .
Vamos decompor em frações parciais ou identificar componentes que podem ser convoluídos.

Passo 6

Observando a expressão, podemos notar que:
Isso sugere que podemos decompor em frações parciais. Contudo, para simplificar usando convolução, vamos reconhecer que a transformada de Fourier de uma convolução de duas funções é o produto das suas transformadas de Fourier.
Portanto, se , então , onde denota convolução.

Passo 7

Vamos escolher e
Portanto, a convolução será:

Passo 8

Agora, vamos encontrar e a partir das suas transformadas de Fourier. Usando a tabela de transformadas de Fourier, sabemos que:
onde é a função degrau de Heaviside.
Aplicando isso, temos:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos realizar a convolução . A convolução de duas funções e é dada por:
Substituindo e :
Isso resulta em termos exponenciais que podem ser integrados facilmente.

Passo 10

Integrando os termos, obtemos:
Simplificando:

Resposta

A função é dada por
onde é a função degrau de Heaviside.

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