Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o conjunto dos pontos onde a função
é contínua. A função dada é:
Aqui, estamos lidando com funções de duas variáveis (
e
). Para resolver, vamos precisar entender o conceito de continuidade em múltiplas variáveis e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, analisamos a continuidade da função em pontos que não são
. Para
, a função é dada por:
Tanto o numerador quanto o denominador
são funções contínuas em todo
, exceto quando o denominador é zero, ou seja, em
. Portanto, para todos os pontos
,
é contínua.
Passo 3
Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto
. Para isso, calculamos o limite da função quando
se aproxima de
:
Sabemos que . No nosso caso,
, que tende a zero quando
. Portanto, o limite é:
Passo 4
Comparamos o limite encontrado com o valor da função no ponto
:
Como o limite é igual ao valor da função nesse ponto, isso significa que a função é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos de
.