Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique sua resposta. f(x, y)= sen(x^2+y^2)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 1, se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o conjunto dos pontos onde a função f(x, y)= sen(x^2+y^2)x^2+y^2, & se (x, y) neq (0,0) 1, & se (x, y)= (0,0) é contínua. A função dada é:
Aqui, estamos lidando com funções de duas variáveis ( e ). Para resolver, vamos precisar entender o conceito de continuidade em múltiplas variáveis e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, analisamos a continuidade da função em pontos que não são f(x, y) = sen(x^2+y^2)x^2+y^2 . Para , a função é dada por:
Tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas em todo , exceto quando o denominador é zero, ou seja, em . Portanto, para todos os pontos , é contínua.

Passo 3

Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto lim(x, y) to (0,0) sen(x^2+y^2)x^2+y^2 . Para isso, calculamos o limite da função quando lim(x, y) to (0,0) sen(x^2+y^2)x^2+y^2 = 1 se aproxima de :
Sabemos que . No nosso caso, , que tende a zero quando . Portanto, o limite é:

Passo 4

Comparamos o limite encontrado com o valor da função no ponto f(0,0) = 1 :
Como o limite é igual ao valor da função nesse ponto, isso significa que a função é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos de .

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