Resolva o problema do calor em uma barra infinita com convecção (existe troca de calor da barra com o ambiente)
l partial upartial t=alpha^2 partial^2 upartial x^2+k partial upartial x u(x, 0)=f(x), x in R
Aqui k é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema envolvendo a equação do calor com convecção em uma barra infinita. A equação dada é:
partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2 + k partial upartial x
E a condição inicial é:
u(x, 0) = f(x), x in R
Aqui, é uma constante. Para resolver essa equação, vamos usar técnicas de transformação de variáveis para simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo representa na equação:
  • : taxade mudança da temperatura ao longo do tempo.
  • : difusão de calor na barra.
  • : termo de convecção, representando a transferência de calor devido ao movimento do fluido (ou outro mecanismo convectivo).
Nosso objetivo é simplificar essa equação para uma forma onde possamos aplicar métodos conhecidos para encontrar a solução.

Passo 3

Para eliminar o termo de primeira derivada ( v(x, t) = e^lambda x u(x, t) ), vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir uma nova função relacionada a por:
Onde é uma constante que vamos determinar para simplificar a equação.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de partial vpartial t = e^lambda x partial upartial t em relação a partial vpartial x = lambda e^lambda x u + e^lambda x partial upartial x e partial^2 vpartial x^2 = lambda^2 e^lambda x u + 2lambda e^lambda x partial upartial x + e^lambda x partial^2 upartial x^2 :
  1. Derivada em relação ao tempo:
e^lambda x partial upartial t = alpha^2 ( lambda^2 e^lambda x u + 2lambda e^lambda x partial upartial x + e^lambda x partial^2 upartial x^2 ) + k ( lambda e^lambda x u + e^lambda x partial upartial x )
  1. Primeira derivada em relação a partial upartial t = alpha^2 ( lambda^2 u + 2lambda partial upartial x + partial^2 upartial x^2 ) + k ( lambda u + partial upartial x ) :
  1. Segunda derivada em relação a :
Agora, substituímos e suas derivadas na equação original:
Simplificando em todos os termos:

Passo 5

Nosso objetivo é escolher partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2 + (2alpha^2 lambda + k) partial upartial x + (alpha^2 lambda^2 + k lambda) u de modo que o termo de primeira derivada ( 2alpha^2 lambda + k = 0 Rightarrow lambda = -k2alpha^2 ) desapareça. Agrupando os termos com partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2 + ( alpha^2 ( -k2alpha^2 )^2 + k ( -k2alpha^2 ) ) u :
partial upartial t = alpha^2 partial^2 upartial x^2 + ( k^24alpha^2 - k^22alpha^2 ) u = alpha^2 partial^2 upartial x^2 - k^24alpha^2 u
Para eliminar o termo , queremos que:
Com esse valor de , a equação simplifica para:
Simplificando os termos constantes:

Passo 6

Agora, a equação está na forma:
partial vpartial t = alpha^2 partial^2 vpartial x^2 - k^24alpha^2 v
Esta é uma equação da difusão simples com um termo de decaimento exponencial. A solução geral para esta equação, considerando a condição inicial u(x, t) = e^-k x2alpha^2 cdot 1raiz4pi alpha^2 t integral-infty^infty e^-(x - y)^24alpha^2 t f(y) , dy , é dada pela transformação reversa:
Isso essencialmente representa a solução da equação do calor com convecção em uma barra infinita, levando em conta a troca de calor com o ambiente.

Resposta

A solução para o problema do calor na barra infinita com convecção é:
u(x, t) = e^-k x2alpha^2raiz4pi alpha^2 t integral-infty^infty e^-(x - y)^24alpha^2 t f(y) , dy

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