Resolva o problema do calor em uma barra infinita com convecção (existe troca de calor da barra com o ambiente)
Aqui
é uma constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema envolvendo a equação do calor com convecção em uma barra infinita. A equação dada é:
E a condição inicial é:
Aqui,
é uma constante. Para resolver essa equação, vamos usar técnicas de transformação de variáveis para simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada termo representa na equação:
-
: taxade mudança da temperatura ao longo do tempo. -
: difusão de calor na barra. -
: termo de convecção, representando a transferência de calor devido ao movimento do fluido (ou outro mecanismo convectivo).
Nosso objetivo é simplificar essa equação para uma forma onde possamos aplicar métodos conhecidos para encontrar a solução.
Passo 3
Para eliminar o termo de primeira derivada (
), vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir uma nova função
relacionada a
por:
Onde
é uma constante que vamos determinar para simplificar a equação.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
em relação a
e
:
- Derivada em relação ao tempo:
- Primeira derivada em relação a
:
- Segunda derivada em relação a
:
Agora, substituímos
e suas derivadas na equação original:
Simplificando
em todos os termos:
Passo 5
Nosso objetivo é escolher
de modo que o termo de primeira derivada (
) desapareça. Agrupando os termos com
:
Para eliminar o termo
, queremos que:
Com esse valor de
, a equação simplifica para:
Simplificando os termos constantes:
Passo 6
Agora, a equação está na forma:
Esta é uma equação da difusão simples com um termo de decaimento exponencial. A solução geral para esta equação, considerando a condição inicial
, é dada pela transformação reversa:
Isso essencialmente representa a solução da equação do calor com convecção em uma barra infinita, levando em conta a troca de calor com o ambiente.
Resposta
A solução para o problema do calor na barra infinita com convecção é: