Calcule a convolução f * g para f, g: R -> R dadas por
f(x)=chi(0,1)(x), g(x)=e^(-x) u0(x)

Passo 1

Então, vamos resolver juntos um exercício de convolução! A gente tem duas funções definidas para todos os números reais:
A convolução é uma operação que combina essas duas funções de uma maneira específica. Para isso, vamos precisar entender o que cada função representa e como aplicar a fórmula da convolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas funções. A função é a função característica do intervalo [0,1]. Isso significa que:
á
Já a função é uma função exponencial multiplicada pela função degrau , que vale 1 para x >= 0 e 0 para . Então:
á

Passo 3

A convolução de duas funções f e g é definida por:
Mas, como nossas funções são zero fora de certos intervalos, podemos simplificar os limites da integração.

Passo 4

Vamos identificar os intervalos onde as funções são diferentes de zero:
  • é 1 quando e 0 caso contrário.
  • é quando , ou seja, quando , e 0 caso contrário.
Portanto, a integração só precisa ser feita onde ambas as funções são não nulas:
Então, os limites de integração serão de até .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral da convolução com esses limites:
Vamos resolver essa integral para diferentes valores de x.

Passo 6

Vamos considerar dois casos:
  1. Quando :
    Aqui, , então a integral fica:
  2. Quando x ≥ 1:
    Aqui, , então a integral fica:

Resposta

Portanto, a convolução f * g é dada por:
á

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