Calcule a convolução
para
dadas por
Passo 1
Então, vamos resolver juntos um exercício de convolução! A gente tem duas funções definidas para todos os números reais:
A convolução é uma operação que combina essas duas funções de uma maneira específica. Para isso, vamos precisar entender o que cada função representa e como aplicar a fórmula da convolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são essas funções. A função
é a função característica do intervalo [0,1]. Isso significa que:
Já a função
é uma função exponencial multiplicada pela função degrau
, que vale 1 para
e 0 para
. Então:
Passo 3
A convolução de duas funções
e
é definida por:
Mas, como nossas funções são zero fora de certos intervalos, podemos simplificar os limites da integração.
Passo 4
Vamos identificar os intervalos onde as funções são diferentes de zero:
-
é 1 quando e 0 caso contrário. -
é quando , ou seja, quando , e 0 caso contrário.
Portanto, a integração só precisa ser feita onde ambas as funções são não nulas:
Então, os limites de integração serão de
até
.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral da convolução com esses limites:
Vamos resolver essa integral para diferentes valores de
.
Passo 6
Vamos considerar dois casos:
-
Quando
:
Aqui,, então a integral fica: -
Quando
:
Aqui,, então a integral fica:
Resposta
Portanto, a convolução
é dada por: