(a) Para a função
e a região
fornecidas, expresse a integral dupla
como uma integral iterada.
(b) Calcule a integral iterada.
(b) Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
e uma região
(ou
) na qual queremos calcular a integral dupla
. Nosso objetivo é primeiro escrever essa integral dupla como uma integral iterada, ou seja, separar em duas integrais simples, e depois calcular o resultado final. Para isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração com base na região
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a região
está delimitada no plano
. Supondo que
seja um retângulo definido por
e
, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada. Se a região for mais complicada, precisaríamos ajustar os limites de acordo com a forma de
.
Passo 3
Vamos assumir que
é retangular para facilitar. A integral dupla
pode ser escrita como uma integral iterada onde integramos primeiro em
e depois em
:
Aqui,
é tratado como uma constante em relação a
, já que estamos integrando primeiro em
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral iterada:
Começamos integrando
em relação a
:
Isso porque a integral de
em relação a
é
, avaliada de
a
.
Passo 5
Substituímos o resultado na integral externa:
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Resposta
Portanto, o valor da integral dupla é: