(a) Para a função f e a região R fornecidas, expresse a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A como uma integral iterada.
(b) Calcule a integral iterada.
f(x, y)=x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função e uma região (ou ) na qual queremos calcular a integral dupla . Nosso objetivo é primeiro escrever essa integral dupla como uma integral iterada, ou seja, separar em duas integrais simples, e depois calcular o resultado final. Para isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração com base na região .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a região está delimitada no plano . Supondo que seja um retângulo definido por e , podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada. Se a região for mais complicada, precisaríamos ajustar os limites de acordo com a forma de .

Passo 3

Vamos assumir que integrala^b ( integralc^d x , dy ) dx é retangular para facilitar. A integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada onde integramos primeiro em e depois em :
Aqui, é tratado como uma constante em relação a , já que estamos integrando primeiro em .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral iterada:
integrala^b ( integralc^d x , dy ) dx
Começamos integrando integralc^d x , dy = x cdot (d - c) em relação a :
Isso porque a integral de em relação a é , avaliada de a .

Passo 5

Substituímos o resultado na integral externa:
integrala^b x cdot (d - c) , dx = (d - c) integrala^b x , dx
Agora, vamos integrar integrala^b x , dx = 12x^2 g|a^b = 12(b^2 - a^2) em relação a :

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é:
integral duplaD f(x, y) , dA = 12(d - c)(b^2 - a^2)

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